Séminaire Probabilités et Statistique

Lors de ce séminaire je vais présenter différents modèles d’arbres binaires de recherche, un objet couramment utilisé en informatique pour étudier l’organisation optimale de données. Je vais commencer par définir plusieurs modèles d’arbres binaires de recherche, basés sur différents modèles de permutations (permutations uniformes, de Mallows et biaisées de record). Après ça, je vais expliquer quelques propriétés intéressantes de ces arbres, notamment comment ils peuvent être construits récursivement. Finalement, je vais conclure cette présentation en donnant des résultats concernant la hauteur de ces arbres et expliquer comment ces résultats peuvent être extraits des constructions précédemment introduites.

L’exposé s’intègrera à la masterclass M2

Dans cet exposé, nous étudions les conditions sous lesquelles la convergence du processus ponctuel des zéros de fonctions holomorphes aléatoire implique la convergence des fonctions holomorphes elles-mêmes. Nous montrons comment appliquer ce résultat au cas du polynome caractéristique de matrices aléatoires, et conjecturalement, à la fonction zeta de Riemann.

Joint work with Julien Chiquet and Stéphane Robin

Joint Species Abundance Models (JSDM) provide a general multivariate framework to study the joint abundances of all species from a community. JSDM account for both structuring factors (environmental characteristics or gradients, such as habitat type or nutrient availability) and potential interactions between the species (competition, mutualism, parasitism, etc.), which is instrumental in disentangling meaningful ecological interactions from mere statistical associations.

Modeling the dependency between the species is challenging because of the count-valued nature of abundance data and most JSDM rely on Gaussian latent layer to encode the dependencies between species in a covariance matrix. The multivariate Poisson-lognormal (PLN) model is one such model, which can be viewed as a multivariate mixed Poisson regression model. The inference of such models raises both statistical and computational issues, many of which were solved in recent contributions using variational techniques and convex optimization.

The PLN model turns out to be a versatile framework, within which a variety of analyses can be performed, including multivariate sample comparison, clustering of sites or samples, dimension reduction (ordination) for visualization purposes, or inference of interaction networks. We will presents the PLN framework and some variants and illustrate them on typical datasets. All the models and methods are implemented in the R package PLNmodels, available from cran.r-project.org.

We will introduce the setting of random dynamical systems with absorption, as for example induced by iterated function systems or stochastic differential equations on a bounded domain with killing at the boundary. We will show how to embed the process conditioned to never being absorbed, the Q-process, into the framework of random dynamical systems, allowing us to study multiplicative ergodic properties and the notion of Kolmogorov-Sinai entropy. Finally, we will elaborate on the relation between entropy and Lyapunov exponents for this setting.

La marche aléatoire de l’éléphant (ERW) est une marche aléatoire discrète qui a été introduite au début des années 2000 par deux physiciens afin d’étudier l’influence d’un paramètre de mémoire sur le comportement de la marche aléatoire. On commencera par introduire la marche aléatoire de l’éléphant en dimension 1 et sa généralisation à dimension d. On présentera ensuite plusieurs possibilités pour étudier et obtenir des résultats sur l’ERW, telles que l’approche martingale, lien avec les urnes de Polya ou encore les arbres aléatoires récursifs. En particulier, on expliquera comment l’utilisation des trois approches est nécessaire pour obtenir des informations sur la variable aléatoire limite qui apparaît dans le régime super-diffusif en dimension 1, et éventuellement en dimension d.

Nous nous intéresserons ici à l’obtention d’estimées bilatérales pour la densité du processus de Langevin tué au bord de l’ouvert D=(0,1) x R^d dans le cas d’un potentiel quadratique. Ces estimées sont cruciales pour obtenir un résultat de convergence de la distribution conditionnée à rester dans le domaine D vers l’unique distribution quasi-stationnaire, avec un préfacteur indépendent de la distribution initiale. En raison de la dégénérescence du Langevin et du fait que le domaine D soit non borné, il est nécessaire de développer une approche nouvelle. Dans ce travail, nous commençons par prouver des estimées bilatérales et explicites sur la probabilité du premier temps de sortie, que nous parvenons ensuite à étendre à la densité du processus tué à l’aide de contrôles gaussiens obtenus dans un travail précédent.

Dans cet exposé, on s’intéressera aux équilibres de Nash dans des jeux différentiels à deux joueurs avec contrôle sur les coefficients de diffusion, et avec corrélation des mouvements browniens dirigeant les équations. Nous considérerons des jeux de classement à somme nulle, dans le sens où les critères optimisés par les joueurs ne dépendent que de la différence des processus d’état des deux joueurs. Dans ce cadre, nous donnerons explicitement les stratégies d’équilibres, en fonction de la corrélation : si le coefficient de corrélation est inférieur à un certain seuil, les stratégies d’équilibres sont des « contrôles forts », tandis que si le coefficient de corrélation est supérieur à ce même seuil, les stratégies d’équilibres sont « mixtes », dans le sens où les joueurs auront un intérêt à choisir leurs stratégies au hasard. Cet exposé sera l’occasion d’introduire la formulation dite « relaxée » des problèmes de contrôle et de jeu stochastiques, formulation basée sur des solutions à des problèmes de martingales. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Stefan Ankirchner (Université de Jena) et Julian Wendt (Université de Jena).

On se donne $(T (n) : n \geq 1)$ un processus d’arbres construits récursivement sommet par sommet (par exemple, le processus de Barabàsi—Albert), que l’on observe à un temps n long. Notre but est de retrouver le sommet initial (Adam). Plus précisément, on veut trouver un sous ensemble de sommets le plus petit possible qui contient Adam avec probabilité au moins $1- \varepsilon$.
Après un aperçu des résultats existants pour les arbres récursifs uniformes et ceux de Barabàsi—Albert, je montrerai que pour trouver Adam, il vaut mieux chercher Adam et Eve.
Travail en collaboration avec Nicolas Curien, Perrine Lacroix, Etienne Lasalle et Vincent Rivoirard.

Nous présenterons des résultats de limites d’échelles de fonctionnelles additives de processus non-markoviens, dont nous décrirons la limite en termes de temps locaux du processus. Une étape clé dans nos preuves consiste en une nouvelle descriptions de fonctionnelles additives à l’aide d’un Lemme de la Couturière Stochastique. Il s’agit de travaux en collaboration avec Khoa Lê (Université de Leeds).

Les processus de branchement apparaissent dans de nombreux modèles de dynamique des populations, notamment pour décrire des invasions. En particulier, ils interviennent dans la description des premières phases d’une épidémie pour déterminer si le nombre d’infectés va exploser ou non et si oui à quelle vitesse. Dans ces modèles, la description des contacts joue un rôle important.
Après une introduction sur ces problématiques, nous nous focaliserons sur un modèle incluant le traçage des contacts. Dans ce modèle, les individus infectent en population mélangée à taux fixe et l’information sur le contact infectieux est perdu à taux fixe, tandis que le test d’un individu infecté aboutit à l’isolement de la composante connexe associée aux contacts encore connus. Grâce à une propriété d’«éclatement» des arbres récursifs uniformes, nous pourrons réduire le modèle à un processus de croissance fragmentation isolation sur les tailles des composantes.
Nous exploiterions alors des techniques récentes d’analyse quantitative des semi groupes non conservatifs et des processus de branchement associé. Cela permettra d’obtenir des convergences fortes pour décrire la propagation de l’épidémie.
Enfin, nous évoquerons des extensions de ce modèle et la prise en compte d’une structuration spatiale des contacts via de grands graphes aléatoires spatialisés, impliquant des techniques d’homogénéisation stochastique.

Ces travaux sont respectivement des collaborations avec Chenlin Gu (Pékin) et Linglong Yuan (Liverpool), Michele Salvi (Rome) et Elisabeta Vergu (INRAe Jouy).