Séminaire Probabilités et Statistique

La marche aléatoire de l’éléphant (ERW) est une marche aléatoire discrète qui a été introduite au début des années 2000 par deux physiciens afin d’étudier l’influence d’un paramètre de mémoire sur le comportement de la marche aléatoire. On commencera par introduire la marche aléatoire de l’éléphant en dimension 1 et sa généralisation à dimension d. On présentera ensuite plusieurs possibilités pour étudier et obtenir des résultats sur l’ERW, telles que l’approche martingale, lien avec les urnes de Polya ou encore les arbres aléatoires récursifs. En particulier, on expliquera comment l’utilisation des trois approches est nécessaire pour obtenir des informations sur la variable aléatoire limite qui apparaît dans le régime super-diffusif en dimension 1, et éventuellement en dimension d.

Nous nous intéresserons ici à l’obtention d’estimées bilatérales pour la densité du processus de Langevin tué au bord de l’ouvert D=(0,1) x R^d dans le cas d’un potentiel quadratique. Ces estimées sont cruciales pour obtenir un résultat de convergence de la distribution conditionnée à rester dans le domaine D vers l’unique distribution quasi-stationnaire, avec un préfacteur indépendent de la distribution initiale. En raison de la dégénérescence du Langevin et du fait que le domaine D soit non borné, il est nécessaire de développer une approche nouvelle. Dans ce travail, nous commençons par prouver des estimées bilatérales et explicites sur la probabilité du premier temps de sortie, que nous parvenons ensuite à étendre à la densité du processus tué à l’aide de contrôles gaussiens obtenus dans un travail précédent.

Dans cet exposé, on s’intéressera aux équilibres de Nash dans des jeux différentiels à deux joueurs avec contrôle sur les coefficients de diffusion, et avec corrélation des mouvements browniens dirigeant les équations. Nous considérerons des jeux de classement à somme nulle, dans le sens où les critères optimisés par les joueurs ne dépendent que de la différence des processus d’état des deux joueurs. Dans ce cadre, nous donnerons explicitement les stratégies d’équilibres, en fonction de la corrélation : si le coefficient de corrélation est inférieur à un certain seuil, les stratégies d’équilibres sont des « contrôles forts », tandis que si le coefficient de corrélation est supérieur à ce même seuil, les stratégies d’équilibres sont « mixtes », dans le sens où les joueurs auront un intérêt à choisir leurs stratégies au hasard. Cet exposé sera l’occasion d’introduire la formulation dite « relaxée » des problèmes de contrôle et de jeu stochastiques, formulation basée sur des solutions à des problèmes de martingales. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Stefan Ankirchner (Université de Jena) et Julian Wendt (Université de Jena).

On se donne $(T (n) : n \geq 1)$ un processus d’arbres construits récursivement sommet par sommet (par exemple, le processus de Barabàsi—Albert), que l’on observe à un temps n long. Notre but est de retrouver le sommet initial (Adam). Plus précisément, on veut trouver un sous ensemble de sommets le plus petit possible qui contient Adam avec probabilité au moins $1- \varepsilon$.
Après un aperçu des résultats existants pour les arbres récursifs uniformes et ceux de Barabàsi—Albert, je montrerai que pour trouver Adam, il vaut mieux chercher Adam et Eve.
Travail en collaboration avec Nicolas Curien, Perrine Lacroix, Etienne Lasalle et Vincent Rivoirard.

Nous présenterons des résultats de limites d’échelles de fonctionnelles additives de processus non-markoviens, dont nous décrirons la limite en termes de temps locaux du processus. Une étape clé dans nos preuves consiste en une nouvelle descriptions de fonctionnelles additives à l’aide d’un Lemme de la Couturière Stochastique. Il s’agit de travaux en collaboration avec Khoa Lê (Université de Leeds).

Les processus de branchement apparaissent dans de nombreux modèles de dynamique des populations, notamment pour décrire des invasions. En particulier, ils interviennent dans la description des premières phases d’une épidémie pour déterminer si le nombre d’infectés va exploser ou non et si oui à quelle vitesse. Dans ces modèles, la description des contacts joue un rôle important.
Après une introduction sur ces problématiques, nous nous focaliserons sur un modèle incluant le traçage des contacts. Dans ce modèle, les individus infectent en population mélangée à taux fixe et l’information sur le contact infectieux est perdu à taux fixe, tandis que le test d’un individu infecté aboutit à l’isolement de la composante connexe associée aux contacts encore connus. Grâce à une propriété d’«éclatement» des arbres récursifs uniformes, nous pourrons réduire le modèle à un processus de croissance fragmentation isolation sur les tailles des composantes.
Nous exploiterions alors des techniques récentes d’analyse quantitative des semi groupes non conservatifs et des processus de branchement associé. Cela permettra d’obtenir des convergences fortes pour décrire la propagation de l’épidémie.
Enfin, nous évoquerons des extensions de ce modèle et la prise en compte d’une structuration spatiale des contacts via de grands graphes aléatoires spatialisés, impliquant des techniques d’homogénéisation stochastique.

Ces travaux sont respectivement des collaborations avec Chenlin Gu (Pékin) et Linglong Yuan (Liverpool), Michele Salvi (Rome) et Elisabeta Vergu (INRAe Jouy).

We develop a statistical test on the determinant of the diffusion coefficient in a 1 or 2-dimensional stochastic differential equations from discrete observations on a fixed time interval [0,T] sampled with a fixed time step.
We propose a test statistic based on increments of the process which guarantees the control of the level of the test in a non asymptotic setting. In dimension 1, the test density is known explicitly even when the drift is estimated. We construct the test and give conditions under which the Type I and Type II errors can be controlled. In dimension 2, the test statistic has not an explicit density but upper and lower bounds are provided. We then give conditions under which the Type I and Type II errors of the test procedure can be controlled. A numerical study illustrates the properties of the tests for stochastic processes with known or unknown drifts.

Dans ce travail, nous nous intéressons à des observations associées à une localisation spatiale (généralement une position géographique) et nous cherchons à identifier des agrégats spatiaux, i.e. des zones où les observations ont un comportement atypique. Pour cela, nous utilisons des méthodes de balayage spatial.
Après avoir expliqué comment ces méthodes fonctionnent lorsque les observations sont réelles, nous introduisons des statistiques conçues spécifiquement pour le cas multivarié, puis pour le cas fonctionnel.
Ces méthodes sont appliquées sur des jeux de données environnementaux (concentration de métaux polluants) et socio-économiques (taux de chômage).

We consider the problem of estimating the Lévy density of a pure jump Lévy process, possibly of infinite variation, from the high frequency observation of one trajectory. To directly construct an estimator of the Lévy density, we use a compound Poisson approximation and we build a linear wavelet estimator. Its performance is studied in terms of $L_p$ loss functions, $p\geq1$, over Besov balls. To show that the resulting rates are minimax-optimal for a large class of Lévy processes, we propose new non-asymptotic bounds of the cumulative distribution function of Lévy processes with Lévy density bounded from above by the density of an alpha-stable type Lévy process in a neighbourhood of the origin. It is a joint work with Céline Duval.

Nous nous intéressons au comportement en temps long des processus de Markov obtenus comme solutions optimales de problèmes d’optimisation stochastique, comme par exemple des problèmes de contrôle stochastique ou des problèmes de transport optimal stochastique. Dans ce contexte, le générateur du processus n’est pas connu en forme explicite et depend de la solution d’une EDP non linéaire, typiquement une équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman. Le but de cet exposé est d’expliquer comment on peut définir une notion de mesure invariante, qu’on appelle turnpike dans ce cadre, et d’illustrer les idées de base d’une technique par couplage qui permet d’obtenir des résultats de convergence exponentielle vers le turnpike. Dans un deuxième temps, la question der comment éteindre ces notions et résultats au contrôle McKean-Vlasov sera aussi abordée.