Séminaire Probabilités et Statistique

La méthode de Stein est un outil bien connu en probabilités pour construire des bornes précises sur des distances probabilistes. Initialement proposée pour l’approximation gaussienne, elle a par la suite été étendue à bon nombre de lois comme la loi de Poisson, binomiale, exponentielle, variance Gamma, et bien d’autres. Ces dernières années, cette méthode probabiliste a aussi connu un réel succès en statistique et machine learning, et a permis des développements théoriques et computationnels assez spectaculaires. Dans cet exposé, je vais donner un aperçu sur ces développements, avec un focus particulier sur une nouvelle mesure de l’impact du choix de la prior distribution en statistique bayésienne.

Je donnerai dans cet exposé deux exemples de problèmes de contrôle stochastique consistant à optimiser un critère discontinu, dans lesquels d’une part, la fonction valeur peut être obtenue explicitement et d’autre part, le contrôle optimal est extrémal (contrôle bang-bang). Je considèrerai d’abord le problème consistant à minimiser une probabilité de ruine en temps fini pour des martingales browniennes. En calculant explicitement les probabilités de sorties d’un triangle rectangle par le mouvement brownien (en utilisant des résultats connus sur les processus de Bessel), il est possible de montrer que la fonction valeur du problème de contrôle est une solution régulière d’une EDP de la chaleur avec des conditions aux bords discontinues. J’expliquerai en quoi ce problème est utile en assurance, en biologie, ou encore en science politique. Dans un 2e temps, je montrerai comment obtenir des résultats similaires dans des problèmes de jeux différentiels à N joueurs, dont je prendrai une approximation de type champs moyen dans le régime où N est grand. Cet exposé s’appuie sur des travaux en collaboration avec Stefan Ankirchner (Jena), Christophette Blanchet-Scalliet (Lyon), Julian Wendt (Jena) et Chao Zhou (Hong Kong).

Dans cet exposé, on s’intéressera à un problème de physique statistique hors équilibre : la propagation de l’énergie dans des chaînes d’oscillateurs, classiques ou quantiques, en dimension 1. Si l’énergie est l’unique quantité conservée, on s’attend dans la plupart des cas à observer un transport diffusif. Néanmoins, si le milieu est désordonné, il est possible d’observer une absence totale de transport (localisation d’Anderson et localisation à N corps), ou un transport plus lent que diffusif, dû à la présence de goulots. J’expliquerai la phénoménologie et je donnerai un modèle Hamiltonien où on peut obtenir un résultat mathématique rigoureux. L’exposé se base sur un travail en collaboration avec Wojciech De Roeck et Stefano Olla.

Les automates cellulaires forment une classe riche de systèmes dynamiques sur l’ensemble des suites symboliques. Ils servent notamment de modèles simplifiés en informatique, pour le calcul parallèle, et en physique statistique, pour étudier l’évolution de systèmes de particules. Un problème classique consiste alors à étudier les environnements laissés stable par l’évolution d’un ou plusieurs automates et en particuliers leurs mesures invariantes ou les distributions asymptotiques des itérés des automates sur une configuration aléatoire. Nous présenterons dans cet exposé plusieurs restrictions sur ces automates en fonction de la complexité de l’environnement.

This talk deals with clustering when several latent class variables are considered (multiple partition clustering). Indeed, assuming that all heterogeneity in the data can be explained by one single variable is very strong, and it can be useful to consider that several blocks (or linear combinations) of variables can provide different partitions of individuals. This can reveal new lines of analysis in the data. In this framework, we present two approaches. The first one assumes the existence of several groups of variables, each leading to a different partition of the individuals [1]. It makes it possible to classify the variables into blocks, each producing a specific grouping of individuals. The model assumes the independence between blocks of variables, and in each block the independence of the variables given the cluster. An efficient approach is proposed to search for the blocks of variables as well as performing the estimation of the different partitions of the individuals. The second one assumes the existence of several classifying projections in the data [2]. It makes it possible to obtain different classifying projections and the associated partitions. The model assumes that the data are obtained based on linear combinations of classifying and non classifying variables, where each classifying variable is assumed to follow a specific mixture distribution. The parameters of the models are estimated through a generalized EM algorithm. The behavior of these models will be illustrated in simulated and real data. We will discuss how using such kind of models can give new insight from the data analysis point of view, and can be considered for further investigation. References: [1] Marbac, M. and Vandewalle, V. (2019). “A tractable multi-partitions clustering”. In: Computational Statistics & Data Analysis 132, pp. 167–179. [2] Vandewalle, V. (2020). “Multi-Partitions Subspace Clustering”. In: Mathematics 8.4, p. 597.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l’estimation fonctionnelle dans un cadre non paramétrique pour des flux de données. Nous donnerons une définition et une modélisation statistique de ce type de données. Nous présenterons brièvement quelques questions relatives à l’estimation non paramétrique, lorsque l’échantillon d’apprentissage est de nature temporelle, spatiale ou spatio-temporelle et se présente sous forme de flux de données. Nous considérerons le cas d’un modèle statistique dans lequel la variable aléatoire générique est multivariée, circulaire ou de nature fonctionnelle. Des modèles classiques seront revisités dans le contexte de flux de données, et leurs propriétés asymptotiques étudiées, notamment lorsque le processus générateur des données est stationnaire ou localement stationnaire.

Dans un article publié en 2018, Le Doussal Majumdar et Schehr ont introduit une famille de distributions, indexées par un entier positif n, qui généralisent la célèbre distribution de Tracy-Widom (GUE) décrivant la loi limite de la plus grande valeur propre d’une matrice aléatoire. Plus récemment, les mêmes distributions sont apparues aussi dans la théorie des partitions aléatoires. Après une bref introduction concernant leur applications, j’illustrerai les résultats que j’ai obtenu en collaboration avec Tom Claeys et Manuela Girotti sur les grandes déviations associées à  ces distributions, et leur liens avec les équations de Painlevé.

Dans cet exposé, nous étudions l’impact d’une politique de surveillance proposée à  un agent exploitant une ressource naturelle renouvelable. Nous adoptons un modèle principal/agent en temps continu dans lequel le principal conçoit un contrat, c’est-à -dire une politique de taxes/compensations, conduisant l’agent à  un niveau d’exploitation donné. Pour un contrat donné, nous décrivons d’abord l’effort optimal de l’agent en utilisant la théorie des EDSR. Sous des hypothèses de régularité sur les coefficients, nous exprimons ensuite le contrat optimal comme la solution d’une équation d’Hamilton Jacobi Bellman. Nous étendons ensuite le résultat à  des coefficients non réguliers en fournissant des stratégies epsilon optimales à  l’aide d’un résultat d’approximation pour la fonction de valeur du régulateur. Travaux conjoints avec Idris Kharroubi (Sorbonne Université) et Thomas Lim (ENSIIE).

Many mathematical models involve input parameters, which are not precisely known. Global sensitivity analysis aims to identify the parameters whose uncertainty has the largest impact on the variability of a quantity of interest. One of the statistical tools used to quantify the influence of each input variable on the quantity of interest are the Sobol’ sensitivity indices. In this paper, we consider stochastic models described by stochastic differential equations (SDE). We focus the study on mean quantities, defined as the expectation with respect to the Wiener measure of a quantity of interest related to the solution of the SDE itself. Our approach is based on a Feynman-Kac representation of the quantity of interest, from which we get a parametrized partial differential equation (PDE) representation of our initial problem. We then handle the uncertainty on the parametrized PDE using polynomial chaos expansion and a stochastic Galerkin projection.

Talk will be in French