Complex geometry seminar

The BNS set of a finitely generated group $\Gamma$ is a certain canonical subset of the space of real additive characters on $\Gamma$. It is a subtle invariant of the group that naturally comes up in different questions of geometric and homological group theory. In the case when $\Gamma$ is the fundamental group of a compact Kähler manifold $X$, Thomas Delzant found a beautiful description of its BNS set in terms of holomorphic fibrations of $X$ over hyperbolic orbifold curves. Using it, he showed that if the fundamental group of a compact Kähler manifold is virtually solvable, it is in fact virtually nilpotent. I will explain the main ideas behind Delzant’s proof and how to generalise his theorems to the case when $X$ is a smooth complex quasi-projective variety. Time permitting, I will also discuss some applications and the case of quasi-Kähler manifolds.

Je parlerai d’un projet en commun avec Maxime Fortier Bourque sur des problèmes extrémaux en géométrie hyperbolique. Les problèmes qui nous intéressent sont des analogues hyperboliques de problèmes classiques en géométrie euclidienne, comme le problème de la densité maximale des empilements de sphères et le problème du nombre de contact. L’objectif de l’exposé sera d’expliquer comment on peut utiliser la formule de trace de Selberg – une formule qui relie les longueurs des géodésiques sur une variété hyperbolique au spectre du Laplacien de cette variété – pour attaquer ces problèmes.

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Comme chaque “séminaire commun de géométrie”, une première partie de 14h à 14h45 sera un exposé d’introduction au sujet de type colloquium, suivi d’une pause thé-gateaux de 14h45 à 15h15 et de la suite de l’exposé de 15h15 à 16h.

Dans cet exposé, on étudiera les hypersurfaces algébriques réelles à l’intérieur d’une variété algébrique réelle donnée. On prouvera que les hypersurfaces algébriques réelles avec de très grands nombres de Betti (par exemple, les hypersurfaces maximales au sens de Smith-Thom) sont exponentiellement rares dans leur système linéaire.

L’inversion de Laurent construit des déformations qui sont au centre de la symétrie miroir des variétés de Fano. Soit f un polynôme de Laurent dont le support est un polytope 3-dimensionnel P, auquel on associe une variété de Fano torique X_P. Dans le cas le plus général, l’inversion de Laurent construit un plongement de X_P dans une variété torique ambiante Y. Si en plus X_P est une intersection complète donnée par des fibrés en droites sur Y, alors une section générale de ces fibrés est une variété de Fano X dont X_P est une dégénérescence torique. Le but est de trouver un Y tel que X soit le plus lisse possible – dans cet exposé on s’intéresse aux variétés de dimension trois, terminales et Q-factorielles. Cette technique permet de construire beaucoup d’exemples d’une façon très explicite et controlée, en exploitant la combinatoire pour obtenir des objets géométriques.

Ce travail concerne le groupe de Cremona du plan sur un corps parfait, c’est à dire le groupe des applications birationnelles du plan projectif qui sont définies sur ce corps. Nous prouvons que ce groupe est engendré par des involutions.
J’expliquerai la décomposition de telles applications en liens de Sarkisov (applications birationnelles simples entre des espaces fibrés simples) et comment cela donne un ensemble de générateurs du groupe de Cremona. Après, je les décomposerai en involutions, parmi lesquelles on peut mentionner les involutions Geiser et Bertini, et des réflexions d’un groupe orthogonal associé à un espace quadratique.
(Travail en collaboration avec Stéphane Lamy.)

On the one hand, the Littelmann’s path model is a combinatorial tool that describes the representation theory of any (symmetrizable) Kac-Moody Lie algebra, available since 1994. The paths in this model are piecewise linear paths in the finite dimensional real vector space spanned by the fundamental weights. But this vector space together with its affine hyperplanes arrangement is also the standard apartment of an object called the masure, introduced by Gaussent-Rousseau in 2008. The masure is playing the role of the Bruhat-Tits building in the Kac-Moody setting. On the other hand, in the finite dimensional setting, Mirkovic and Vilonen developed a geometric model of the aforementionned representations, by introducing subvarieties in the affine Grassmannian associated to a reductive group, first in 2000. Most of the algebraic information can be derived from the associated polytopes, and there is a bijection between paths and polytopes. In 2014, Baumann, Kamnitzer and Tingley defined the Mirkovic-Vilonen polytopes in the Kac-Moody setting using preprojective algebras. Our goal is to take advantage of the combinatoric/geometric nature of the masure to realize Mirkovic-Vilonen polytopes directly from Littelmann’s paths.
This is a joint work with Stéphane Gaussent.

Il est naturel de regarder des transformations birationnelles du plan, càd des isomorphismes des ouverts de Zariski du plan. Il y en a beaucoup qui sont des involutions et on peut se mettre à les classifier à conjugaison près. Sur le corps des nombres complexes une telle involution possède des courbes fixes rationnelles ou bien une unique courbe fixe irrationnelle. Dans ce dernier cas, les classes de conjugaison des involutions sont à bijection avec les classes d’isomorphismes des courbes fixes. Pas surprenant, ce n’est plus le cas sur le corps des nombres réels…
Je vais motiver la classification dans le cas complexe et ensuite je vais raconter ce qui est connu dans le cas réel.

Comme tous les “séminaires communs de géométrie”, nous aurons de 14h à 14h45 une introduction au sujet de niveau Colloquium, puis de 14h45 à 15h15 une pause thé-gateaux-géométrie, puis de 15h15 à 16h la suite de l’exposé de recherche.

We show the following algebraicity result for a complex projective variety X with big representation of π1 into an almost simple algebraic group: There exists a proper subvariety Z ⊂ X such that for any algebraic curve C, any holomorphic map f : C → X with f(C) not contained in Z is induced from an algebraic morphism. As a corollary, we show that such varieties are pseudo-Brody hyperbolic.

We study the T-equivariant cobordism rings for the action of a maximal torus T on smooth varieties over an algebraically closed field of characteristic zero. The rational T-equivariant cobordism rings of a wide range of examples were computed in recent years including the classes of toric varieties, flag varieties and symmetric varieties of minimal rank using mainly the technique of localisation at fixed points. We seek to extend the known results to any smooth projective (horo-)spherical variety with an action of a maximal torus T. Among others, we obtain explicit presentations for the rational equivariant cobordism rings of odd symplectic Grassmannians IG(k,2n+1). Furthermore, using the self-intersection formula, we are able to compute a wide range of classes in the rational T-equivariant cobordism ring.