Complex geometry seminar

Hyperbolicité en présence d’un grand système local

Serge Lang a proposé plusieurs conjectures influentes reliant différentes notions d’hyperbolicité pour les variétés algébriques complexes projectives. Par exemple, il a conjecturé que le lieu balayé par les courbes entières coïncide avec le lieu balayé par les sous-variétés qui ne sont pas de type général, du moins après avoir pris les fermetures de Zariski. J’expliquerai que certaines de ces conjectures (dont celle ci-dessus) sont vraies pour les variétés qui admettent un grand système local complexe au sens de Campana et Kollár (par exemple toute variété qui possède une variation de structures de Hodge mixtes dont l’application des périodes est finie).

Soit X une variété complexe proiective de dimension trois avec
bonnes singularités. Miyaoka a montré dans les années 1980 que si le
fibré canonique K_X est nef, alors un certain multiple de K_X est
effectif. Ceci est le théorème classique de non-annulation pour les
variétés minimales de dimension trois.
Dans cet exposé nous expliquerons des résultats analogues pour le fibré
anticanonique -K_X, ce qui correspondent au problème de non-annulation
pour les variétés à courbure semi-positive. Plus précisément, nous
montrerons que si -K_X est nef, alors la classe numérique de -K_X est
effective.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Vladimir Lazić, Shin-ichi
Matsumura, Thomas Peternell and Nikolaos Tsakanikas.

L’espace des métriques kähleriennes.

Un problème classique en géométrie kählerienne est de trouver des métriques kähleriennes spéciales, cet à dire avec des bonnes propriétés de courbure. En relation avec ce problème, l’étude de l’espace des métriques kähleriennes, que l’on denote H, devient cruciale.

Cet espace à été étudié à partir des année 80 quand Mabuchi a introduit un produit scalaire sur chaque espace tangent. À partir de cela, une famille de distances d_p, p>=1, on été définie sur H en démontrant que (H, d_p) est une espace métriques mais pas complet.
Dans la première partie cette exposé on donnera un panorama de tout ce que on sait sur cet espace. Puis parlera plus en détail de ses géodésiques, son complété métrique et des distances d_p.
Les résultats présentés dans cette exposé sont basés sur des deux travaux, un en collaboration avec Vincent Guedj et l’autre en collaboration avec Chinh Lu.

Titre : Structures Calabi-Yau et espaces de représentations.

Résumé : Brav et Dyckerhoff ont montré que, dans un contexte approprié, les structures dites Calabi-Yau (CY) en algèbre noncommutative induisent des structures lagrangiennes sur les espaces de représentations. Je vais donner des applications de ce principe dans le cadre des carquois en exhibant de nouvelles sous-variétés lagrangiennes du schéma de Hilbert de points sur le plan, correspondant à des lieux critiques dits relatifs ou contraints. J’expliquerai aussi comment ces structures CY recouvrent des notions standard en géométrie Poisson et (quasi)Hamiltoniennes, et comment elles donnent lieu à une nouvelle théorie topologique des champs (TFT) si le temps le permet. C’est un rapport sur des travaux réalisés avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke.

Titre: Groupes de tresses et algèbres de Hecke de normalisateurs de sous-groupes de réflexions

Résumé: Étant donné un groupe de réflexions complexe (fini) et un sous-groupe de ce dernier engendré par des réflexions, on peut se demander sous quelles hypothèses ce sous-groupe admet un complément à l’intérieur de son normalisateur. Dans le cas des groupes de Coxeter et de leurs sous-groupes paraboliques, Howlett a montré qu’un tel complément existe toujours et a donné un algorithme pour en déterminer un système de générateurs. Taylor et Muraleedaran ont montré que les sous-groupes paraboliques des groupes de réflexions complexes finis admettent également un complément. Lorsque le sous-groupe n’est pas parabolique, l’existence de complément n’est en général pas garantie.

En lien avec l’étude des algèbres de Yokonuma-Hecke, Marin a défini un groupe que l’on peut considérer comme le groupe de tresses d’un normalisateur d’un sous-groupe de réflexions. Celui-ci contient le groupe de tresses du sous-groupe de réflexions comme sous-groupe normal, fournissant une suite exacte courte qui relève celle induite par l’inclusion du sous-groupe de réflexions dans son normalisateur. On peut également construire l’analogue d’une algèbre de Hecke pour le normalisateur du sous-groupe de réflexions. Dans les cas où la suite exacte induite par l’inclusion du sous-groupe de réflexions dans son normalisateur est scindée, on peut se demander si cette propriété se relève à la suite exacte impliquant le groupe de tresses du normalisateur. Si c’est le cas, on obtient une décomposition en produit semi-direct de l’algèbre de Hecke du normalisateur, ce qui permet notamment d’en construire une base standard.

Dans un premier temps, nous rappellerons les définitions et constructions des objets considérés. Nous expliquerons pourquoi, dans le cas d’un groupe de Coxeter fini et d’un sous-groupe de réflexions arbitraire, le groupe de tresses du normalisateur se décompose toujours en un produit semi-direct (travail en commun avec Anthony Henderson et Ivan Marin). Si le temps le permet, nous évoquerons la situation plus générale des groupes de réflexions complexes finis. Dans ce cas, les suites exactes mentionnées plus haut ne sont pas scindées en général, mais sous de bonnes hypothèses sur le corps de base et l’ensemble des paramètres, il existe toujours une décomposition en produit semi-direct de l’algèbre de Hecke du normalisateur (travail en commun avec Ivan Marin).

It is natural to ask whether one can characterize the hyperbolicity of algebraic varieties via their topology. In this talk, I will answer this question if their fundamental groups admit a linear representation. Precisely, I will give a sharp condition for the hyperbolicity of complex quasi-projective varieties via representation of fundamental groups. This fits well with the prediction of the strong Green-Griffiths-Lang conjecture. As an application, fundamental groups of special quasi-projective varieties must have nilpotent linear quotient, thus proving a conjecture by Campana in the linear case. For colleagues who have interest in the proof, I will use some extra time to briefly explain the strategy of the proof, which is based on Nevanlinna theories, and non-abelian Hodge theories in both Archimedean and non-archimedean settings. This work is based on two joint works with Brotbek-Daskalopoulos-Mese, and Cadorel-Yamanoi. 

Soit X une variete lisse holomorphiquement symplectique, alors une
sous-variete coisotrope lisse Y de X est muni d’un feuilletage naturel
(le noyau de la restriction de la forme symplectique). On dit que Y
est algebriquement coisotrope si ce feuilletage est algebriquement
integrable,
c’est-a-dire tangent a une fibration. Par analogie avec nos resultats
en codimension une, nous posons la question si toute variete
algebriquement
coisotrope est, a un revetement fini pres, produit d’une sous-variete
lagrangienne avec un Z symplectique quelconque. Nous expliquons
certaines
reponses partielles (notamment c’est vrai lorsque X est abelienne).