Complex geometry seminar

Un théorème de décomposition pour les variétés de Poisson holomorphes

Weinstein a montré que toute variété de Poisson holomorphe est localement le produit d’une variété symplectique et d’une variété de Poisson dont le rang est nul au point considéré. En particulier, toute variété de Poisson possède un feuilletage naturel dont les feuilles sont des variétés symplectiques. Dans un travail en collaboration avec Jorge Pereira, Brent Pym et Frédéric Touzet, nous montrons que si une variété de Poisson compacte kählérienne X a une feuille compacte L dont le groupe fondamental est fini alors, à un revêtement étale fini près, X est le produit du revêtement universel de L et d’une autre variété de Poisson.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/events/titre-a-venir-99/

In this talk we present the construction of some moduli spaces of semistable sheaves over a smooth projective variety (over the field of complex numbers). We will use a notion of stability for pure coherent sheaves, which lies in-between Gieseker- and slope-stability. This is defined with respect to the Hilbert polynomial of the sheaf, truncated up to a certain degree. We call it l-(semi)stability, where l marks the level of truncation.

Before we proceed with the construction, we give a restriction theorem for l-(semi)stability. This applies in particular to Gieseker-semistable sheaves and generalizes the well-known restriction theorems of Mehta and Ramanathan. With this ingredient in place, we construct moduli spaces of l-semistable sheaves in higher dimensions. Our construction is based on ideas of Le Potier and Jun Li. In the torsion-free case, we recover a result of Huybrecths-Lehn over surfaces and of Greb-Toma in higher dimensions.

Soit G un groupe algébrique complexe semi-simple, qui agit sur sont algèbre de Lie L(G) via l’action adjointe, et soit X l’adhérence d’une orbite nilpotente dans L(G). Dans cet exposé on va s’intéresser aux formes réelles de X, c’est-à-dire aux variétés algébriques réelles W munies d’une action d’un groupe algébrique réel F telles que F_\C soit isomorphe à G comme groupe algébrique et W_C soit isomorphe à X comme G-variété. Il s’agit d’un travail en commun avec Michael Bulois et Lucy Moser-Jauslin (arXiv:2106.04444).

Séminaire reporté en 2022-2023. Date précisée ultérieurement.

Les courbes hyperelliptiques sont des revêtements ramifiés de degré deux
de la droite projective. Dans le complément des points de ramification,
la préimage d’un point est constituée de deux points distincts notés p
et q. La différence p-q est de r-torsion s’il existe une fonction qui a
un zéro d’ordre r en p et un pôle d’ordre r en q (et aucune autre
singularité). La recherche de courbes hyperelliptiques définies sur les
rationnels avec r points de torsion est un problème important encore
largement ouvert.

Au contraire, dans le cas complexe on sait qu’il existe des surfaces
possédant une paire de r-torsion pour tout r suffisamment grand. Les
courbes munies de points de r-torsion forment des sous-espaces T_{g,r}
de l’espace des modules des courbes hyperelliptiques pointées. Ces
sous-espaces ne semblent pas avoir fait l’objet d’études approfondies.
Dans cet exposé, je souhaite montrer que leur topologie est
intéressante: à g fixé et pour r assez grand, l’espace T_{g,r} possède
environ g/2 composantes connexes.
J’expliquerai ce résultat grâce à des objets classiques, tels que
l’équation de Pell-Abel, les différentielles de troisième espèce ou les
tresses. Ce résultat a été obtenu conjointement dans un travail en
préparation avec Andrei Bogatyrev.

Les courbes hyperelliptiques sont des revêtements ramifiés de degré deux
de la droite projective. Dans le complément des points de ramification,
la préimage d’un point est constituée de deux points distincts notés p
et q. La différence p-q est de r-torsion s’il existe une fonction qui a
un zéro d’ordre r en p et un pôle d’ordre r en q (et aucune autre
singularité). La recherche de courbes hyperelliptiques définies sur les
rationnels avec r points de torsion est un problème important encore
largement ouvert.

Au contraire, dans le cas complexe on sait qu’il existe des surfaces
possédant une paire de r-torsion pour tout r suffisamment grand. Les
courbes munies de points de r-torsion forment des sous-espaces T_{g,r}
de l’espace des modules des courbes hyperelliptiques pointées. Ces
sous-espaces ne semblent pas avoir fait l’objet d’études approfondies.
Dans cet exposé, je souhaite montrer que leur topologie est
intéressante: à g fixé et pour r assez grand, l’espace T_{g,r} possède
environ g/2 composantes connexes.
J’expliquerai ce résultat grâce à des objets classiques, tels que
l’équation de Pell-Abel, les différentielles de troisième espèce ou les
tresses. Ce résultat a été obtenu conjointement dans un travail en
préparation avec Andrei Bogatyrev.

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson en géométrie complexe relie l’existence de métriques de Kähler canoniques et la notion algébro-géométrique de K-stabilité. Une version forte a été prouvée pour les métriques de Kähler-Einstein sur les variétés de Fano il y a presque dix ans, et elle a considérablement amélioré notre compréhension de ce problème. Pour des métriques de Kähler canoniques plus générales, telles que les métriques de Kähler extrémales de Calabi, la conjecture YTD est toujours ouverte et, ce qui est peut-être plus important, son utilité pour prouver l’existence de métriques de Kähler extrémales est beaucoup moins claire. Je présenterai un raffinement possible de la conjecture YTD, inspiré par quelques indices dans la littérature, puis des résultats partiels dans cette direction dans le cadre des variétés sphériques.

Comme tous les “Séminaires communs de géométrie”, cet exposé est constitué de deux parties, la première de 14h à 14h45 pour un large public, la seconde de 15h15 à 16h pour un public plus intéressé. Entre les deux, une pause “thé-gâteaux” est offerte par l’équipe de géométrie

Première partie : Construction de surfaces minimales : approche variationnelle.

Résumé : Après avoir expliqué ce que sont les surfaces minimales, je présenterai quelques éléments de l’approche variationnelle qui peut être utilisée pour en construire.

Partie spécialisée : Rigidité des variétés riemanniennes contenant un équateur

résumé : Si une métrique sur la sphère S^{^2} à courbure comprise entre 0 et 1 possède une géodésique de longueur 2\pi, alors la courbure est constante égale à 1. Ce résultat de rigidité est dû à Calabi. En dimension 3 et sous les mêmes hypothèses de courbure sectionnelle, l’existence d’une sphère minimale d’aire 4\pi rigidifie aussi la métrique. Ce résultat a été obtenu dans un travail précédent avec H. Rosenberg. Dans cet exposé je présenterai comment ce travail peut être généralisé en codimension supérieure. Je donnerai aussi comme conséquence un théorème de rigidité pour le “width” de Simon-Smith.