Complex geometry seminar

At the beginning of the 20th century, it was known that any compact connected, simply connected Riemann surface is biholomorphic to the projective line.
Subsequently, several characterizations of projective spaces were established. For instance, Siu and Yau stated that projective spaces are the only Kähler manifolds with positive holomorphic bisectional curvature, and Mori proved that they are the only projective manifolds that have an ample tangent bundle. In a different direction, projective spaces are the only Kähler–Einstein manifolds with a positive constant satisfying the equality in the Miyaoka–Yau inequality. This result originating from uniformization theory was generalized in the singular setting by Greb, Kebekus, Peternell and Druel, Guenancia, Păun. More precisely, they characterize singular quotients of $\mathbb{P}^n$ by finite groups acting freely in codimension 1. The aim of this talk is to discuss a generalization of Greb–Kebekus–Peternell’s result in order to characterize quotients of $\mathbb{P}^n$ by any group action.

Le problème de Kodaira demande si toute variété compacte kählérienne admet une déformation (arbitrairement petite) vers une variété projective. Nous présenterons des résultats positifs de ce problème pour certaines variétés de dimension 3 fibrées par des surfaces c_1-triviales. A un biméromorphisme près, ces variétés recouvrent les solides kählériens de dimension de Kodaira 1.

The quantum cohomology ring of a flag variety encodes the Gromov-Witten invariants that count curves meeting Schubert varieties in general position. When infinitely many such curves exist, the arithmetic genus of the corresponding family of curves is called a K-theoretic Gromov-Witten invariant. The quantum K-theory ring of
Givental is a generalization of the quantum cohomology ring that encodes the K-theoretic Gromov-Witten invariants. While little is known about the quantum K-theory of general flag varieties, the (small) quantum K-theory of cominuscule flag varieties has been studied in a series of papers with Chaput, Mihalcea, and Perrin. I will speak about geometric and combinatorial aspects of this work.

The “classical equals quantum” theorem states that any equivariant Gromov-Witten invariant (3 point, genus zero) of a Grassmann variety can be expressed as a triple intersection of Schubert classes on a two-step partial flag variety. An equivariant triple intersection on a two-step flag variety can in turn be expressed as a sum over puzzles that generalizes both Knutson and Tao’s puzzle rule for Grassmannians and the cohomological puzzle rule for two-step flag varieties. These results together give a Littlewood-Richardson rule for the equivariant quantum cohomology of Grassmannians. I will speak about geometric and combinatorial aspects of this story, which is based on papers with Kresch, Purbhoo, Mihalcea, and Tamvakis.

Gromov-Witten invariants are invariants of a smooth projective variety $X$ which count the number of curves of genus zero on $X$ meeting prescribed incidence conditions. The (small) quantum cohomology ring is a commutative graded $mathbb{Z}[q]$-algebra whose structure coefficients are given by three-point genus zero Gromov-Witten invariants. It is a deformation of the ordinary cohomology and depends on polynomial variables $q$ indexed by a basis of $H_2(X)$. In this talk, we will focus on the simplest case where $X=G/P$ is a homogeneous space. In this case, Fulton-Woodward gave a description of the minimal degrees $d$ such that $q^d$ occurs in the quantum product of two Schubert cycles. We will use this description and the theory of curve neighborhoods by Buch-Mihalcea to prove that there exists a unique minimal degree $d_X$ in the quantum product of two points. This degree $d_X$ can be completely understood in terms of Kostant’s cascade of strongly orthogonal roots. Moreover, it can be shown that any minimal degree in any quantum product of two Schubert cycles is bounded by $d_X$.

Une compactification lisse d’un quotient de domaine symétrique borné étant donnée, on souhaite étudier les notions de positivité usuelles de ses fibrés cotangents logarithmique et standard. Pour cela, on prouve un critère métrique de grosseur des fibrés cotangents, applicable à  toute paire logarithmique lisse. On peut ainsi montrer que le fibré cotangent logarithmique de la compactification précédente est toujours gros, ce qui redonne un résultat de Y. Brunebarbe.

Dans le cas d’un quotient de la boule, on s’intéresse aux revêtements ramifiés de la compactification, étales sur l’intérieur. On donne des ordres de ramification effectifs à  partir desquels toutes les sous-variétés d’un tel revêtement, non incluses dans le bord, ont leur fibré cotangent gros, ou nef.

The Littelmann paths model is a strong tool used to understand finite-dimensional representations of complex semi-simple Lie algebras. It has remarkable applications, such as a rule for the the decomposition into simple summands of the tensor product of two irreducible representations and of the restriction of a simple representation to a Levi sub algebra (those obtained by removing nodes from the Dynkin diagram). Such rules are called branching rules. We prove a conjecture of Naito-Sagaki about a branching rule for the restriction of irreducible representations of $mathfrak{sl}(2n,mathbb{C})$ to $mathfrak{sp}(2n,mathbb{C})$ in terms of Littelmann paths. The embedding is given by the folding of the type $A_{2n-1}$ Dynkin diagram, and is not of Levi type. So far, no non-Levi branching rules were known in terms of Littelmann paths. This is joint work with Bea Schumann.

Les algèbres de Hecke associées aux groupes de Weyl finis ou
affines sont centrales en théorie des représentations, en géométrie et en
topologie de petite dimension notamment. En 1979, motivés par des
questions reliées aux singularités des variétés de Schubert, Kazhdan et
Lusztig ont introduit deux bases (dites canoniques) de ces algèbres. Ils
en ont donné une définition purement combinatoire, qui se généralise aux
algèbres de Hecke associées aux groupes de Coxeter arbitraires. Ils ont en
outre formulé une conjecture de positivité: la matrice de changement de
base entre l’une des bases canoniques et la base dite standard de
l’algèbre de Hecke ne devrait avoir pour coefficients que des polynômes à 
coefficients positifs. Si cette conjecture a été rapidement démontrée par
Kazhdan et Lusztig (1980) dans le cas des groupes de Weyl en utilisant des
techniques géométriques, l’absence de telles techniques dans le cas
général a longtemps constitué un obstacle à  une approche générale,
jusqu’aux travaux de Soergel (2007): Soergel a proposé un remplacement à 
la géométrie (a priori) inexistante dans le cas général, ce qui a permis
une preuve récente de la conjecture de positivité en toute généralité par
Elias et Williamson (2014).

Après quelques rappels sur les groupes de Coxeter, leurs algèbres de Hecke
et les groupes d’Artin-Tits associés, nous tenterons d’expliquer l’idée de
la construction de Soergel, qui repose sur une technique de
catégorification, sans entrer dans les détails techniques. Nous
expliquerons comment cette approche peut également être utilisée pour
résoudre certaines généralisations de la conjecture de positivité énoncées
par Dyer, et reliées à  des problèmes touchant aux groupes d’Artin-Tits.