Complex geometry seminar

Les variétés de Fano sont des variétés projectives complexes avec premier caractère de Chern positif. Cette condition de positivité a des implications profondes en géométrie et en arithmétique. Par exemple, les variétés de Fano sont recouvertes par des courbes rationnelles , et les familles de variétés de Fano sur des bases unidimensionnelles admettent toujours des sections holomorphes. Ces dernières années, il y a eu un effort important pour définir des analogues supérieurs à la condition de Fano, qui devraient présenter des versions renforcées de propriétés des variétés de Fano. Dans cet exposé, je parlerai donc des “variétés de Fano supérieures” définies en termes de positivité des autres caractères de Chern. Ce travail est en collaboration avec Carolina Araujo, Roya Beheshti, Ana-Maria Castravet, Kelly Jabbusch, Svetlana Makarova et Nivedita Viswanathan.

An elementary Mori contraction from a smooth variety $X$ is a morphism with connected fibres onto a normal variety which contracts a single extremal ray of $K_X$-negative curves. Thanks to a result by P. Ionescu and J. Wisniewsi, we know that the length of such a contraction (i.e. the minimal degree $-K_X$ can have on contracted rational curves) is bounded from above. In a paper which dates back to 2013, A. Höring and C. Novelli studied elementary Mori contractions of maximal length, that is, elementary Mori contractions for which the upper bound is met. Their main result exhibits the structure of a projective bundle for the locus of positive-dimensional fibres up to a birational modification. In my talk, I will move to the submaximal case, in other words the case where the length equals its upper bound minus one, and focus on the divisorial case.

Sur une variété projective une distribution holomorphe de codimension 1 est automatiquement intégrable dès qu’elle satisfait une certaine propriété numérique (pseudo-effectivité du conormal). Elle définit donc un feuilletage que nous nous proposons de décrire dans cet exposé.