In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

La théorie des modèle est l’étude des formules du premier-ordre sur une structure. Dans le cas des groupes, on peut penser à  ces formules comme à  des équations généralisées. Ces formules permettent alors d’exprimer certaines propriétés du groupe (l’abélianité par exemple) ou de ses éléments, alors que d’autre ne peuvent pas être exprimées. On peut par exemple se demander quand deux groupes non isomorphes satisfont les mêmes formules du premier ordre: le problème de Tarski consiste à  déterminer si les groupes libres de rang distinct peuvent être distingués par des formules du premier ordre. Au début des années 2000, Sela et independamment Kharlampovich et Miasnikov ont montré que cela n’est pas possible. Les techniques de Sela, très géométriques, ont permis de montrer de nombreux autres résultats sur la théorie des modèles des groupes libres et des groupes hyperboliques. Un resultat qui montre bien la connection de tels problèmes avec la géométrie est qu’il est également impossible de distinguer un groupe de surface hyperbolique d’un groupe libre par des formules du premier ordre. A travers des exemples, j’essaierai de montrer comment les techniques de théorie géométrique des groupes peuvent permettre d’attaquer de telles questions.

Sur une variété projective une distribution holomorphe de codimension 1 est automatiquement intégrable dès qu’elle satisfait une certaine propriété numérique (pseudo-effectivité du conormal). Elle définit donc un feuilletage que nous nous proposons de décrire dans cet exposé.