Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ?  La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (« powered numbers »). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

http://www.iecn.u-nancy.fr/~nombres/Les-Seminaires/

On a compact connected spin manifold the index theorem by Atiyah and Singer gives lower bounds for the dimension of the kernel of the Dirac operator. Metrics for which the lower bound is attained are called D-minimal. It is conjectured that generic metrics are D-minimal and that non-D-minimal metrics exist on any manifold of dimension at least 3. These conjectures go back to Hitchin’s article « Harmonic spinors » where first steps in this program were done, and they were clearly conjectured by C. Bär and M. Dahl. That D-minimal metrics are generic was proven by Bär, Dahl, Humbert and myself using Gromov-Lawson type surgery methods and bordism theory. The existence of non-D-minimal metrics in dimension at least 7 is current work with Bunke, Pilca and Nowaczyk and uses recent progress by Crowley and Schick about the topology of the space of metrics with positive scalar curvature.

http://www.iecn.u-nancy.fr/~nombres/Les-Seminaires/

Nous définissons la notion de famille exhaustive de représentations d’une C*-algèbre A. Si F est une telle famille de représentations de A, alors un opérateur D affilié à  A est inversible si, et seulement si, phi(D) est inversible pour tout phi dans F. Cette propriété caractérise les familles exhaustives. Ensuite nous appliquons ces résultats aux familles paramétriques d’opérateurs (pseudo) différentiels.

http://www.iecn.u-nancy.fr/~nombres/Les-Seminaires/