Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ?  La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (« powered numbers »). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

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Nous allons étudier le spectre essentiel des hamiltioniens avec interaction homogènes à  l’infini en utilisant les $C^*$-algèbres. Nous allons commencer avec une introduction au sujet.

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Nous définissons la notion de famille exhaustive de représentations d’une C*-algèbre A. Si $mathcal{F}$ est une telle famille de représentations de A, alors un opérateur D affilié à  A est inversible si, et seulement si, $phi(D)$ est inversible pour tout $phiinmathcal{F}$. Cette propriété caractérise les familles exhaustives. Ensuite nous appliquons ces résultats aux familles paramétriques d’opérateurs (pseudo) différentiels et à  l’étude de leur spectre.

De nombreux systèmes physiques sont soumis à  un phénomène de frottement: ils dissipent leur énergie dans leur environnement (champ, fluide, etc.) et ralentissent. Je propose dans cette présentation d’étudier un modèle quantique de frottement o๠une particule quantique interagit avec des champs scalaires quantifiés. Je présenterai une étude complète des propriétés spectrales de l’Hamiltonien fibré correspondant, qui établissent une première indication sur les propriétés dynamiques de la particule. Travaux en commun avec J. Faupin et S. de Bièvre.

Résumé

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