Random multiplicative functions are random models for arithmetic functions such as Dirichlet characters. Moments of sums involving random multiplicative functions are related to interesting counting problems, and understanding these counts can allow one to deduce the limiting distribution of the sums. Using this idea, Benatar, Nishry, and Rodgers showed that the limiting distribution of exponential sums with random multiplicative coefficients is Gaussian. However, they found that moments do not suffice if one wishes to understand the maximum size of these exponential sums. After introducing random multiplicative functions, we will discuss why this is the case, and show how one can obtain conjecturally sharp lower bounds for the maximum size of exponential sums with random multiplicative coefficients.

Résumé

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On s’intéresse à  un modèle de neurones dit «intègre et décharge». Chaque décharge de neurones influence les autres neurones. On arrive à  une équation de type champ moyen avec un terme d’interaction assez singulier. Les questions sont : l’existence d’une solution en temps long, la construction d’un système de particules qui converge vers cette équation, la synchronisation des neurones.

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On va donner une introduction gentille aux aspects arithmétiques en géométrie non-commutative, notamment les systèmes de Bost-Connes. De plus, on va expliquer la nécessité d’autres outils.