Séminaire de géométrie différentielle

The symmetrized Asymptotic Mean Value Laplacian \tilde{\Delta}, is obtained as limit of approximating integral operators \tilde{\Delta}_r, and is an extension of the classical Euclidean Laplace operator to the realm of metric measure spaces. We show that in the limit as r->0, as the operators eventually admit isolated eigenvalues defined via min-max procedure  on any compact uniformly locally doubling metric measure space. Then we prove L^2 and spectral convergence of \tilde{\Delta}_r to the Laplace-Beltrami operator of a compact Riemannian manifold, imposing Neumann conditions when the manifold has a non-empty boundary.

The Hawking energy is one of the simplest quasi-local energy definitions in general relativity. Despite its simplicity, the Hawking energy has faced challenges due to ambiguities when applied to general surfaces. In this talk, I will present recent results demonstrating that the Hawking energy exhibits key physical and mathematical properties—non-negativity, rigidity,
and monotonicity—when evaluated on a generalization of  area-constrained Willmore surfaces  (Hawking surfaces). In particular such properties hold for area-constrained Willmore surfaces on manifolds with nonnegative scalar curvature.  These results establish Hawking surfaces as a useful tool for evaluating the Hawking energy and reinforce its potential as a meaningful tool for understanding gravitational phenomena.

We investigate the stability of the Morse index for a sequence of Yang–Mills connections on closed 4-manifolds under bubble-tree convergence. As critical points of a conformally invariant energy, Yang–Mills connections share close ties with harmonic maps in various respects. At the same time, their analysis is simpler provided one works in a suitable gauge, namely the Coulomb gauge. Motivated by applications to the construction of non-stable solutions of the Yang–Mills equations, this work extends recent methods developed by Da Lio–Gianocca–Rivière for index stability to the Yang–Mills framework, employing sharp decay estimates to show that the neck regions contribute positively to the second variation.

Vers une connectification des immeubles supérieurs

Soit $G$ un groupe réductif déployé sur un corps réellement valué, par exemple $G=SL_n(F)$, où $F=k((t))$ pour $n$ un entier naturel et $k$ un corps. Afin d’étudier un tel groupe, Bruhat et Tits lui ont associé un objet de nature géométrico-combinatoire $I(G)$, appelé immeuble de Bruhat-Tits, sur lequel $G$ agit. On peut alors étudier $G$ via son action sur $I(G)$ et transformer une question de nature algébrique en une question plus géométrique. Par exemple si $G=SL_2(k((t)))$, où k est un corps, son immeuble est un arbre homogène de valence $|k|+1$.

Soit maintenant $F$ un corps muni d’une valuation quelconque, c’est à dire non forcément réelle. On peut par exemple prendre $F=k((t_1))((t₂))…((t_m))$, où m est un entier naturel, qui est naturellement muni d’une valuation à valeurs dans $\mathbb{Z}^m$. Afin d’étudier des groupes réductifs déployés sur de tels corps, Bennett a introduit dans les années 90 une notion d’immeubles supérieurs qui généralise la notion d’immeubles de Bruhat-Tits. Avec Izquierdo et Loisel, nous avons associé à un tel groupe un immeuble supérieur, généralisant ainsi la construction de Bruhat et Tits. Lorsque la valuation est à valeurs réelles, l’immeuble de Bruhat-Tits est connexe et contractile, ce qui permet d’appliquer des techniques de topologie algébrique pour étudier le groupe. En revanche, lorsque la valuation n’est pas réelle (par exemple si $m\geq 2$), l’immeuble n’est pas connexe. Afin de généraliser certains résultats connus pour des valuations réelles, il semble donc utile de « connectifier » l’immeuble c’est à dire de rajouter des points pour le rendre connexe. Je parlerai d’avancées dans cette direction, obtenues avec Bravo, Izquierdo et Loisel.

Je présenterai un travail en commun avec R. Petrides (Paris) et B. Premoselli (Bruxelles). Les opérateurs GJMS sont des opérateurs convariants conformes qui généralisent l’opérateur de Yamabe. Nous étudions l’infimum (supremum) de la k-ème valeur propre positive (négative) parmi les métriques de volume 1 dans une classe conforme. Nous nous intéressons en particulier à la question de savoir si elles sont atteintes ou non. Nos travaux généralisent à toutes les valeurs propres et aux opérateurs GJMS d’ordre quelconque les travaux antérieurs qui se limitaient aux valeurs propres d’ordre 1 ou 2 et aux opérateurs d’ordre 2 ou 4.

Les problèmes spectraux classiques comme ceux de Dirichlet et de Neumann étudient les propriétés des fonctions propres et des valeurs propres. Leurs applications physiques concernent les modes de vibrations ainsi que la propagation de la chaleur et du son dans un domaine géométrique.

Géométrie birationnelle des groupes algébriques en caractéristique p>0

(Première partie) Cet exposé portera sur l’étude des familles G ⟶ S de groupes algébriques paramétrées par des variétés algébriques S de caractéristique p>0. Je commencerai l’exposé en expliquant quelques conséquences, pour l’étude des groupes algébriques, de l’existence du morphisme de Frobenius. La géométrie birationnelle est l’étude des différents prolongements possibles d’une famille fixée paramétrée par les points d’un ouvert dense U de S. J’expliquerai la signification de cette étude birationnelle pour la connaissance de toutes les familles. Dans ce contexte, les éclatements de Néron (aussi appelés dilatations) sont l’outil clé pour fabriquer de nouveaux prolongements. Je les présenterai ainsi que quelques développements très récents.
(Deuxième partie) Je me concentrerai ensuite sur le cas des groupes finis et illustrerai les problèmes spécifiques à ce cas. J’introduirai l’espace de modules des prolongements d’une famille fixée, qui est une ind-variété. Enfin j’énoncerai un résultat d’existence de dilatations dans ce cadre.
L’exposé comportera de nombreux exemples.
Il s’agit de résultats obtenus en collaboration avec A. Mayeux et T. RIcharz, ainsi que de travaux d’Alice Bouillet.

On a beaucoup étudié les surfaces minimales complètes de courbure totale finie de R3 mais beaucoup moins celles de R4. Je rappellerai les outils de base dans R4 et donnerai des exemples de plans minimaux. Puis je me concentrerai sur le cas des tores minimaux de courbure totale -8π avec un  seul bout. Le tore carré de Chen-Gackstatter est l’unique exemple d’un tel tore dans R3 mais dans R4  on peut construire des exemples sur tous les tores rectangulaires. Je discuterai la stratégie de preuve et j’indiquerai les questions restant ouvertes. C’est un travail en collaboration avec Marc Soret.