Séminaire de géométrie différentielle

Les surfaces de Ricci sont les surfaces dont la métrique satisfait la condition KΔK + g(dK,dK) +4K^3=0. Ces surfaces sont premièrement étudiées par A. Moroianu et S. Moroianu. Ils ont démontré que les surfaces de Ricci permettent localement des immersions minimales dans R^3. On va donner quelques résultats de classification des surfaces de Ricci avec des bouts caténoïdaux en utilisant une analogue de la représentation de Weierstrass.

Energy conditions are a major ingredient for the famous singularity theorems of General Relativity. In this talk we want to study one of them from the perspective of initial data sets: An embedded spacelike hypersurface of a Lorentzian manifold carries an induced Riemannian metric $g$ and a second fundamental form $k$. The dominant energy condition implies that the pairs $(g, k)$ arising in this way satisfy a certain inequality that generalizes the condition of non-negative scalar curvature of $g$ in the case $k = 0$. As for non-negative (or positive) scalar curvature, index theoretic methods can be used to study the (strict) dominant energy condition for initial data sets. In this context Dirac-Witten operators serve as the appropriate replacement for Dirac operators.

Nous allons nous intéresser aux espaces métriques injectifs, où toute famille de boules s’intersectant deux à deux s’intersecte globalement, ainsi qu’à leur contrepartie discrète que sont les graphes de Helly. L’étude des actions de groupes sur de tels espaces permet d’en déduire de nombreuses propriétés typiques de la courbure négative. Nous montrerons que les espaces symétriques classiques peuvent être munis d’une métrique injective, tandis que les immeubles de Bruhat-Tits classiques peuvent être munis d’une structure de graphe de Helly.

Après avoir introduit le groupe de Cremona j’expliquerai comment on peut étudier ses sous-groupes résolubles et les plongements du groupe de Heisenberg dans celui-ci.

Les catégories de Fukaya sont des catégories A_infini dont les objets sont les sous-variétés lagrangiennes d’une variété symplectique ; trouver un système générateur pour celles-ci permet d’extraire de l’information fine sur la topologie de ces sous-variétés lagrangiennes. Dans cet exposé j’introduirai les notions de base du sujet (sous-variétés lagrangiennes, catégories A-infini, systèmes générateurs …) dans le cadre des variétés de Weinstein (qui contient le cas des fibrés cotangents). Je décrirai ensuite un système de générateurs dans ce contexte et expliquerai comment celui-ci peut-être utilisé pour permettre des calculs explicites d’invariants des sous-variétés lagrangiennes afin d’étudier leur topologie. C’est une combinaison de divers travaux dont certains en collaboration avec G. Dimitroglou-Rizell, P. Ghiggini et R. Golovko.

Des travaux de A. Fraser et R. Schoen ont récemment relancé l’intérêt pour les surfaces minimales à bord libre. De nombreux exemples de surfaces minimales à bord libre dans la boule unité ont notamment été construits. De telle surfaces ne sont jamais des minimums de la fonctionnelle d’aire, et on quantifie combien elles sont loin d’être des minimums à l’aide d’un nombre entier, l’indice de Morse. Dans cet exposé, je présenterai des résultats concernant l’indice de Morse des surfaces minimales à bord libre dans la boule unité ; une question ouverte est notamment de classifier de telles surfaces de petit indice.

The Gauss curvature measure of a pointed Euclidean convex body is a measure on the unit sphere which extends the notion of Gauss curvature to non-smooth bodies. Alexandrov’s problem consists in finding a convex body with given curvature measure. In Euclidean space, A.D. Alexandrov gave a necessary and sufficient condition on the measure for this problem to have a solution.

In this paper, we address Alexandrov’s problem for convex bodies in the hyperbolic space $\mathbf{H}^{m+1}$ . After defining the Gauss curvature measure of an arbitrary hyperbolic convex body, we completely solve Alexandrov’s problem in this setting. Contrary to the Euclidean case, we also prove the uniqueness of such a convex body. The methods for proving existence and uniqueness of the solution to this problem are both new.

En collaboration avec Felix Schulze (Warwick University)

Les solutions auto-similaires expansives du flot de Ricci sont des solutions n’évoluant que par homothéties et difféomorphismes. De telles solutions sont aussi appelées solitons (gradients) expansifs de Ricci. Ces métriques sont de bons candidats pour lisser instantanément des singularités métriques (isolées) éventuellement kahlériennes. Nous traitons ici la question de l’unicité de telles solutions ayant pour condition initiale un cône métrique fixé. Comme première étape, nous développons une fonctionnelle de Lyapunov appelée entropie relative dans ce contexte.

En collaboration avec Felix Schulze (Warwick University)

Les solutions auto-similaires expansives du flot de Ricci sont des solutions n’évoluant que par homothéties et difféomorphismes. De telles solutions sont aussi appelées solitons (gradients) expansifs de Ricci. Ces métriques sont de bons candidats pour lisser instantanément des singularités métriques (isolées) éventuellement kahlériennes. Nous traitons ici la question de l’unicité de telles solutions ayant pour condition initiale un cône métrique fixé. Comme première étape, nous développons une fonctionnelle de Lyapunov appelée entropie relative dans ce contexte.

Dans cet exposé, je présenterai des travaux récents sur le flot géodésique des variétés non-compactes à  courbure négative, dont la plupart sont en collaboration avec B. Schapira et S. Gouà«zel. Je commencerai par rappeler le contexte géométrique et certains de ses liens avec la théorie géométrique des groupes et l’analyse sur les variétés. Puis je présenterai diverses visions classiques de l’entropie du flot géodésique en courbure négative, à  partir desquelles j’introduirai la notion d’entropie à  l’infini.

On dit qu’une variété présente un « trou critique » si l’entropie totale est strictement plus grande que l’entropie à  l’infini. J’expliquerai enfin pourquoi ce concept de trou critique semble central pour l’étude des dynamiques non-compactes, et je présenterai divers résultats que nous avons obtenu à  ce sujet et quelques travaux en cours.