Séminaire de géométrie différentielle

16

Je parlerai d’un projet en commun avec Maxime Fortier Bourque sur des problèmes extrémaux en géométrie hyperbolique. Les problèmes qui nous intéressent sont des analogues hyperboliques de problèmes classiques en géométrie euclidienne, comme le problème de la densité maximale des empilements de sphères et le problème du nombre de contact. L’objectif de l’exposé sera d’expliquer comment on peut utiliser la formule de trace de Selberg – une formule qui relie les longueurs des géodésiques sur une variété hyperbolique au spectre du Laplacien de cette variété – pour attaquer ces problèmes.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Comme chaque « séminaire commun de géométrie », une première partie de 14h à 14h45 sera un exposé d’introduction au sujet de type colloquium, suivi d’une pause thé-gateaux de 14h45 à 15h15 et de la suite de l’exposé de 15h15 à 16h.

En 1977, Milnor a formulé la conjecture suivante : tout groupe discret de transformations affines agissant proprement sur l’espace affine est virtuellement résoluble. On sait maintenant que cet énoncé est faux ; l’objectif est à présent de mieux cerner les contre-exemples à cette conjecture. Il y a deux ans, j’ai présenté au séminaire de Géométrie Différentielle une méthode permettant de construire un très grand nombre de tels contre-exemples.

Cette fois-ci, d’une part, je vais au contraire me concentrer sur les cas particuliers dans lesquelles la conjecture de Milnor est vérifiée. Je vais expliquer dans quels cas je sais la démontrer, et quels sont les obstacles à surmonter pour couvrir les cas restants.

Je vais également évoquer les possibles critères de propreté de l’action d’un groupe discret affine fixé.

On se place dans l’espace des chambres de Weyl d’un espace symétrique de rang supérieur, ce qui correspond dans le cas d’une surface hyperbolique à son fibré unitaire tangent. Dans le cas compact ainsi que pour les orbivariétés qui sont des revêtements finis de SL(d,ZZ)\SL(d,IR), l’espace des chambres de Weyl contient des tores plats. Cela correspond, dans le cas des surfaces
hyperboliques aux orbites fermées du flot géodésique. Je vais vous présenter un résultat d’équidistribution et de comptage de ces tores plats périodiques, obtenus en collaboration avec Jialun Li.

L’étude des limites de Gromov-Hausdorff de variétés à courbure de Ricci minorée a débuté en 1981 avec un théorème de pré-compacité de Gromov : depuis, une vaste théorie de la régularité a été développée grâce aux travaux de J. Cheeger, T.H. Colding, M. Anderson, G. Tian, A. Naber, W. Jiang. Néanmoins, dans de nombreuses situations, on ne dispose pas d’une minoration uniforme sur la courbure de Ricci. Il est donc important d’étudier des suites de variétés avec une hypothèse plus faible sur la courbure. Dans la première partie de cet exposé, je présenterai le contexte de la convergence de Gromov-Hausdorff et les principaux résultats connus dans le cas de courbure de Ricci minorée. J’introduirai ensuite une condition moins restrictive, la borne de Kato, et les résultats de régularité que nous avons obtenus dans un travail en collaboration avec G. Carron et D. Tewodrose. La deuxième partie de l’exposé sera dédiée aux nouvelles quantités monotones que nous avons introduites et au rôle fondamental qu’elles jouent dans nos preuves.

Il est bien connu depuis la thèse de Margulis que les propriétés de mélange du flot géodésique des variétés riemanniennes fermées à courbure négative peuvent être utilisées pour obtenir divers résultats d’équidistribution : équidistribution des géodésiques fermées, ou encore équidistribution des orbites du groupe fondamental dans le revêtement universel. À l’aide des densités dites de Patterson-Sullivan, les idées de Margulis ont pu être appliquées à des contextes géométriques plus généraux ; par exemple par Roblin qui étudia des espaces localement CAT(-1) non compacts.

Dans cet exposé, nous discuterons de ces questions de mélange et équidistribution dans un autre contexte géométrique : celui des variétés projectives convexes, autrement dit des quotients d’ouverts proprement convexes d’un espace projectif réel. Ces variétés apparaissent naturellement lors de l’étude de certains sous-groupes discrets des groupes de Lie. Leurs droites projectives sont des géodésiques pour une certaine métrique finslérienne, dite de Hilbert (qui n’est en général pas CAT(0)), et on leur associe naturellement un flot géodésique. Les résultats qui seront présentés sont issus d’une collaboration avec Feng Zhu.

16:

Il est naturel de regarder des transformations birationnelles du plan, càd des isomorphismes des ouverts de Zariski du plan. Il y en a beaucoup qui sont des involutions et on peut se mettre à les classifier à conjugaison près. Sur le corps des nombres complexes une telle involution possède des courbes fixes rationnelles ou bien une unique courbe fixe irrationnelle. Dans ce dernier cas, les classes de conjugaison des involutions sont à bijection avec les classes d’isomorphismes des courbes fixes. Pas surprenant, ce n’est plus le cas sur le corps des nombres réels…
Je vais motiver la classification dans le cas complexe et ensuite je vais raconter ce qui est connu dans le cas réel.

Comme tous les « séminaires communs de géométrie », nous aurons de 14h à 14h45 une introduction au sujet de niveau Colloquium, puis de 14h45 à 15h15 une pause thé-gateaux-géométrie, puis de 15h15 à 16h la suite de l’exposé de recherche.

Le problème de Wentzel est un problème spectral avec les valeurs propres dans les conditions au bord. En effet, il s’agit en quelque sorte d’une perturbation du problème de Steklov, plus connu, dont le spectre correspond à celui de l’opérateur Dirichlet-to-Neumann et qui est un cas particulier correspondant à la valeur zéro du paramètre de perturbation dans le problème de Wentzel.

Bien que le problème de Wentzel partage certaines propriétés communes avec et le problème de Steklov et le problème fermé sur les hypersurfaces, ses valeurs propres et fonctions propres ont un certain nombre de caractéristiques géométriques distinctives dûes au paramètre de perturbation, rendant le sujet particulièrement attrayant.

Dans cette présentation, nous discuterons des avancées récentes sur l’estimation des valeurs propres par rapport aux invariants géométriques du domaine considéré, tels que la courbure, le rapport isopérimétrique ou encore la concentration volumique du bord. Nous donnerons des Bornes sup ́erieures uniformes explicites, obtenues grâce à des méthodes de décomposition métrique sur la variété Riemannienne ambiante. Ceci permet d’établir des estimations optimales selon la loi asymptotique de Weyl.