Séminaire de géométrie différentielle

It is known that minimal surfaces are unknotted in 3-sphere. We will see how this fact can be generalized.

La notion de représentation maximale du groupe fondamental d’une surface dans un groupe de Lie hermitien généralise naturellement la notion de représentation fuchsienne dans $PSL(2,mathbb{R})$. Dans cet exposé, j’expliquerai comment construire une unique surface maximale dans l’espace pseudo hyperbolique $mathbb{H}^{2,n}$ qui est préservée par l’action d’une représentation maximale dans un groupe de Lie de rang 2. Comme conséquence, nous prouvons une conjecture de Labourie pour les représentations maximales en rang 2. Il s’agit d’un travail en commun avec Brian Collier et Nicolas Tholozan.

J’expliquerai comment un principe de compacité-concentration permet de montrer divers résultats, nouveaux ou déjà  connus, concernant la constante d’observabilité de l’équation des ondes, puis en application, des résultats sur les mesures quantiques d’une variété riemannienne compacte. Il s’agit de travaux en collaboration avec Y. Privat et E. Trélat.

Dans cet exposé, on établira des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une 2-variété riemannienne soit isométriquement immergée comme surface à  courbure moyenne constante dans certaines variétés produits. De plus, dans le cas o๠la 2-variéte riemannienne a une courbure intrinsèque constante, on classifiera ces immersions isométriques. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Benoît Daniel (UL) et Feliciano Vità³rio (UFAL).

In this talk, we will show some results about quasi-Einstein manifolds. Quasi-Einstein manifolds can be characterized as bases of Einstein warped products. On the first part, we investigated the infinity structure of a complete non-compact quasi-Einstein manifolds. In particular, we show that if M is a base of a Ricci-flat warped product then M is connected at infinity. When M is the basis of an Einstein warped product with Einstein constant λ < 0, there are examples with more than one end. In this case, we show that M is non-parabolic and, on a given hypothesis about scalar curvature, M has only one end f-non-parabolic. In addition, we obtain two estimates for the volume of the geodesic balls of M. On the second part, we will show that Bach-flat non-compact quasi-Einstein manifolds with λ = 0 and positive Ricci curvature are isometric to a rotationally symmetric metric whose fiber is a Einstein manifold.

This is joint work with R. Batista and E. Ribeiro Jr.

Si l’on fait une variation $C^1$ d’une métrique à  courbure négative sur une variété compacte, alors l’entropie du flot géodésique (invariant dynamique naturel) varie de manière $C^1$. Ce résultat est dà» à  Katok-Knieper-Weiss. Dans un travail en commun avec Samuel Tapie, nous montrons que ce résultat est valide pour une large classe de variétés non compactes à  courbure négative. J’introduirai les notions intervenant dans ce résumé, et quelques idées des preuves.

On introduit une distance sur l’ensemble des corps convexes de l’espace euclidien de dimension n, à  translations et homothéties près. Cet ensemble se plonge isométriquement comme un convexe de l’espace hyperbolique de dimension infinie. La structure lorentzienne ambiante est donnée par une extension de l’aire intrinsèque des corps convexes. On en déduit que l’ensemble des formes des corps convexes (c’est-à -dire les corps convexes à  similitudes près) est muni d’une distance propre de courbure plus grande que -1. Pour les convexes en dimension 3, cet espace est homéomorphe à  l’espace des métriques sur la sphère de courbure positive.

Par analogie avec les fonctions de type positif et les fonctions conditionnellement de type négatif, classiques en théorie des représentations des groupes, nous étudions les fonctions de type hyperbolique. Nous donnons des exemples de telles fonctions et quelques applications. Il s’agit d’un travail en commun avec Nicolas Monod ( https://arxiv.org/abs/1805.12479 ).

We prove that the stability index of a compact constant mean curvature (CMC) surface in the Euclidean space or in the unit sphere is bounded from below by a linear function of its genus. We also will discuss some results in the case of free-boundary CMC surfaces in a mean convex body of R^3. These results are part of joint works with Darlan de Oliveira.

Par la formule de la signature de Hirzebruch et d’Atiyah, Patodi et Singer, l’invariant êta du bord totalement géodésique $M$ d’une variété orientée plate $X$ de dimension $4k$ doit être un nombre entier. Nous démontrons un résultat similaire dans un contexte plus général: si $X$ est une variété Riemannienne compacte, localement conformément plate et à  bord $M$, alors l’invariant êta de $M$ doit être un entier, sans aucune condition sur le plongement de $M$ dans $X$. Ce résultat fournit des obstructions à  l’existence d’une métrique localement conformément plate sur $X$ prescrite le long de $M$.