Séminaire de géométrie différentielle

Soit $M = tilde M/Gamma$ une variété à  courbure négative, de groupe fondamental $Gamma$. La croissance des orbites de $Gamma$ sur $tilde M$ est une indication précise de la complexité de la topologie de $M$, fortement reliée aux propriétés dynamiques de son flot géodésique et au spectre du Laplacien en courbure constante.

Nous montrerons sur des exemples simples de surfaces riemanniennes les liens entre ces différents concepts dynamiques, topologiques et géométriques, grâce à  un contrôle précis de la série de Poincaré associée au groupe fondamental. Nous verrons en particulier comment de petites perturbations de la métrique riemannienne peuvent avoir des effets inattendus sur ces croissances d’orbites.

Travail en collaboration avec Marc Peigné et Pierre Vidotto

We consider a surface S generically immersed in the 4-ball B_4 and bounded by a transverse link L in S_3. Under some conditions at the boundary, we express the self-linking number sl(L) (w.r.t. the contact structure) as

sl(L) = −χ(S) + 2D_S + wind_+

where χ denotes the Euler characteristic, D_S is the number of crossing points and wind_+ counts the tangent planes to S which are Lagrangian and J-complex for some complex structure J on R^4.

We will sketch the proof, discuss the case when the condition at the boundary is not satisfied, give examples and look at the relevance of the formula for minimal surfaces.

Dans ce travail en cours et en commun avec Ines Kath (Greifswald) et Georges Habib (Beyrouth), je m’attacherai à  décrire quelques propriétés des variétés riemanniennes portant une fonction satisfaisant une équation liant sa hessienne au tenseur de Ricci de la variété.

L’espace de Minkowski est l’analogue lorentzien de l’espace euclidien. Il est bien connu qu’il existe un plongement isométrique du plan hyperbolique dans l’espace de Minkowski de dimension 2+1, qui est l’analogue du plongement isométrique de la sphère dans l’espace euclidien. Contrairement au cas euclidien, ce plongement isométrique n’est pas unique à  isométries globales près. Je présenterai des résultats, obtenus conjointement avec Francesco Bonsante et Peter Smillie, sur le problème de la classification de tels plongements isométriques, qui est fortement relié aux équations de Monge-Ampère, aux applications harmoniques entre surfaces riemanniennes et à  la théorie de l’espace de Teichmà¼ller universel.

Dans cet exposé on va d’abord introduire une classe d’espaces métriques singuliers, les espaces stratifiés, qui généralisent la notion de singularité conique isolée et ont été étudiés des points de vue topologique et analytique. On va définir une notion de courbure minorée dans ces espaces et montrer comment cela entraîne une borne inférieure pour le spectre du laplacien ; dans le cas o๠cette borne est atteinte on obtient un théorème de rigidité qui, restreint aux variétés compactes lisses, redémontre le théorème d’Obata-Lichnerowicz. La dernière partie de l’exposé sera dédiée aux conséquences de ces résultats sur l’existence d’une métrique à  courbure scalaire constante dans un espace stratifié.

On s’intéresse aux surfaces minimales orientables, non planes, dont le bord est contenu dans deux plans horizontaux donnés et dont toutes les sections horizontales ont la même orientation. On montre que, dans cet ensemble de surfaces, le minimum de l’aire est réalisé par une caténoïde stable-instable. C’est un travail en commun avec J. Choe.

Dans l’étude des structures géométriques sur une variété, on est souvent amené à  étudier l’espace des représentations de son groupe fondamental $Gamma$ à  valeurs dans un groupe de Lie donné. Lorsque ce groupe est SL(n,$mathbb C$), on dispose de la variété des caractères, qui est un objet algébrique permettant cette étude. Après avoir donné la définition et quelques propriétés de la variété des caractères pour SL(n,$mathbb C$), nous proposerons une définition de « variété de caractères pour une forme réelle » $G$ de SL(n,$mathbb C$), et nous vérifierons qu’elle permet bien l’étude des représentations de $Gamma$ à  valeurs dans $G$ à  conjugaison près.

Soit $M$ une variété de dimension 3 et $G$ son groupe fondamental. La recherche
d’éventuelles structures hyperboliques sur $M$ amène naturellement à  étudier l’espace
des représentations de $G$ dans SL(2,$mathbb C$) ou plutôt la variété des caractères
(espace des représentations modulo conjugaison).

On peut définir sur cette variété de caractère une fonction Volume, qui étend le
volume hyperbolique. Nous verrons comment l’étude des propriétés de cette
fonction renseigne sur la variété des caractères elle-même.

Un théorème de Zimmer des années 1980 assure qu’à  isomorphisme local près, SL(2,$mathbb R$) est le seul groupe de Lie simple et non-compact agissant isométriquement sur des variétés lorentziennes de volume fini. Peu après, Gromov caractérisait la géométrie des variétés sur lesquelles de telles dynamiques se produisent. Dans cet exposé, je m’intéresserai au problème analogue pour des actions conformes de groupes de Lie semi-simples. Une plus grande famille de groupes apparaît, et certains d’entre eux agissent sur de nombreuses variétés non-conformément équivalentes. Néanmoins, nous verrons que la géométrie locale est prescrite par l’existence d’un groupe simple non compact de transformations conformes. Ceci découlera d’une analyse de la dynamique de flots hyperboliques du groupe. J’expliquerai en quoi ceci a des implications sur la forme générale du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte.

We first explore in details a wide variety of examples of locally compact groups which arise in algebra, geometry, and dynamics. In particular, we discuss Lie groups over the reals and over the p-adic numbers, automorphism groups of locally finite trees, and almost automorphism groups of rooted trees. We go on to survey the general theory of locally compact groups.