Séminaire de géométrie différentielle

Dans cet exposé on va d’abord introduire une classe d’espaces métriques singuliers, les espaces stratifiés, qui généralisent la notion de singularité conique isolée et ont été étudiés des points de vue topologique et analytique. On va définir une notion de courbure minorée dans ces espaces et montrer comment cela entraîne une borne inférieure pour le spectre du laplacien ; dans le cas o๠cette borne est atteinte on obtient un théorème de rigidité qui, restreint aux variétés compactes lisses, redémontre le théorème d’Obata-Lichnerowicz. La dernière partie de l’exposé sera dédiée aux conséquences de ces résultats sur l’existence d’une métrique à  courbure scalaire constante dans un espace stratifié.

On s’intéresse aux surfaces minimales orientables, non planes, dont le bord est contenu dans deux plans horizontaux donnés et dont toutes les sections horizontales ont la même orientation. On montre que, dans cet ensemble de surfaces, le minimum de l’aire est réalisé par une caténoïde stable-instable. C’est un travail en commun avec J. Choe.

Dans l’étude des structures géométriques sur une variété, on est souvent amené à  étudier l’espace des représentations de son groupe fondamental $Gamma$ à  valeurs dans un groupe de Lie donné. Lorsque ce groupe est SL(n,$mathbb C$), on dispose de la variété des caractères, qui est un objet algébrique permettant cette étude. Après avoir donné la définition et quelques propriétés de la variété des caractères pour SL(n,$mathbb C$), nous proposerons une définition de « variété de caractères pour une forme réelle » $G$ de SL(n,$mathbb C$), et nous vérifierons qu’elle permet bien l’étude des représentations de $Gamma$ à  valeurs dans $G$ à  conjugaison près.

Soit $M$ une variété de dimension 3 et $G$ son groupe fondamental. La recherche
d’éventuelles structures hyperboliques sur $M$ amène naturellement à  étudier l’espace
des représentations de $G$ dans SL(2,$mathbb C$) ou plutôt la variété des caractères
(espace des représentations modulo conjugaison).

On peut définir sur cette variété de caractère une fonction Volume, qui étend le
volume hyperbolique. Nous verrons comment l’étude des propriétés de cette
fonction renseigne sur la variété des caractères elle-même.

Un théorème de Zimmer des années 1980 assure qu’à  isomorphisme local près, SL(2,$mathbb R$) est le seul groupe de Lie simple et non-compact agissant isométriquement sur des variétés lorentziennes de volume fini. Peu après, Gromov caractérisait la géométrie des variétés sur lesquelles de telles dynamiques se produisent. Dans cet exposé, je m’intéresserai au problème analogue pour des actions conformes de groupes de Lie semi-simples. Une plus grande famille de groupes apparaît, et certains d’entre eux agissent sur de nombreuses variétés non-conformément équivalentes. Néanmoins, nous verrons que la géométrie locale est prescrite par l’existence d’un groupe simple non compact de transformations conformes. Ceci découlera d’une analyse de la dynamique de flots hyperboliques du groupe. J’expliquerai en quoi ceci a des implications sur la forme générale du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte.

We first explore in details a wide variety of examples of locally compact groups which arise in algebra, geometry, and dynamics. In particular, we discuss Lie groups over the reals and over the p-adic numbers, automorphism groups of locally finite trees, and almost automorphism groups of rooted trees. We go on to survey the general theory of locally compact groups.

An injective homomorphism of the fundamental group of an hyperbolic surface in the symplectic group Sp(2n,R) is a maximal representation if it maximizes the so-called Toledo invariant. Maximal representations form interesting and well studied components of the character variety generalizing the Teichm »uller space, that is encompassed in the case n=1. Basmajian’s equality allows to compute the length of the boundary of a hyperbolic surface in term of the lengths of the orthogeodesics: geodesic segments orthogonal to the boundary at both endpoints. In joint work with Federica Fanoni we provide a generalization of this result to the setting of maximal representations. »

We introduce a new method to obtain Harnack inequalities for extrinsic curvature flows such as the mean curvature flow and more general fully nonlinear flows. For example, this method allows us to deduce Harnack inequalities for the mean curvature flow in locally symmetric (Riemannian or Lorentzian) Einstein spaces, for flows with convex speeds in the De Sitter space and for the Gauss curvature flow in Minkowski space.

Nous étudions les propriétés régularisantes du flot de Ricci dans un contexte kählerien. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une résolution Kähler d’un cône métrique Kähler admette une unique structure de soliton de Kahler-Ricci gradient expansif asymptotiquement conique. En particulier, ce résultat généralise tous les exemples connus de telles structures expansives. Nous montrons également que l’espace de module des solitons expansifs de kahler-Ricci conique à  opérateur de courbure positif est connexe par arcs. Ce travail est en collaboration avec Ronan Conlon (Florida International University).