Séminaire de géométrie différentielle

Soit $M$ une variété de dimension 3 et $G$ son groupe fondamental. La recherche
d’éventuelles structures hyperboliques sur $M$ amène naturellement à  étudier l’espace
des représentations de $G$ dans SL(2,$mathbb C$) ou plutôt la variété des caractères
(espace des représentations modulo conjugaison).

On peut définir sur cette variété de caractère une fonction Volume, qui étend le
volume hyperbolique. Nous verrons comment l’étude des propriétés de cette
fonction renseigne sur la variété des caractères elle-même.

Un théorème de Zimmer des années 1980 assure qu’à  isomorphisme local près, SL(2,$mathbb R$) est le seul groupe de Lie simple et non-compact agissant isométriquement sur des variétés lorentziennes de volume fini. Peu après, Gromov caractérisait la géométrie des variétés sur lesquelles de telles dynamiques se produisent. Dans cet exposé, je m’intéresserai au problème analogue pour des actions conformes de groupes de Lie semi-simples. Une plus grande famille de groupes apparaît, et certains d’entre eux agissent sur de nombreuses variétés non-conformément équivalentes. Néanmoins, nous verrons que la géométrie locale est prescrite par l’existence d’un groupe simple non compact de transformations conformes. Ceci découlera d’une analyse de la dynamique de flots hyperboliques du groupe. J’expliquerai en quoi ceci a des implications sur la forme générale du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte.

We first explore in details a wide variety of examples of locally compact groups which arise in algebra, geometry, and dynamics. In particular, we discuss Lie groups over the reals and over the p-adic numbers, automorphism groups of locally finite trees, and almost automorphism groups of rooted trees. We go on to survey the general theory of locally compact groups.

An injective homomorphism of the fundamental group of an hyperbolic surface in the symplectic group Sp(2n,R) is a maximal representation if it maximizes the so-called Toledo invariant. Maximal representations form interesting and well studied components of the character variety generalizing the Teichm »uller space, that is encompassed in the case n=1. Basmajian’s equality allows to compute the length of the boundary of a hyperbolic surface in term of the lengths of the orthogeodesics: geodesic segments orthogonal to the boundary at both endpoints. In joint work with Federica Fanoni we provide a generalization of this result to the setting of maximal representations. »

We introduce a new method to obtain Harnack inequalities for extrinsic curvature flows such as the mean curvature flow and more general fully nonlinear flows. For example, this method allows us to deduce Harnack inequalities for the mean curvature flow in locally symmetric (Riemannian or Lorentzian) Einstein spaces, for flows with convex speeds in the De Sitter space and for the Gauss curvature flow in Minkowski space.

Nous étudions les propriétés régularisantes du flot de Ricci dans un contexte kählerien. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une résolution Kähler d’un cône métrique Kähler admette une unique structure de soliton de Kahler-Ricci gradient expansif asymptotiquement conique. En particulier, ce résultat généralise tous les exemples connus de telles structures expansives. Nous montrons également que l’espace de module des solitons expansifs de kahler-Ricci conique à  opérateur de courbure positif est connexe par arcs. Ce travail est en collaboration avec Ronan Conlon (Florida International University).

11h – Simon Raulot : Opérateurs de Dirac sur les hypersurfaces plates en temps et applications

13h30 – Daniel Monclair : Critical exponent and Hausdorff dimension in Anti de Sitter geometry

15h – Jérémie Blanc : Topological simplicity of the Cremona groups

page web:
http://www-irma.u-strasbg.fr/article1600.html

Je parlerai d’un travail en collaboration avec Nicolas Tholozan, dans lequel nous étudions une classe particulière de représentations du groupe fondamental des sphères épointées dans le groupe $text{PSL}(2, mathbb R)$, que nous appelons supra-maximales. Bien qu’elles soient pour la plupart Zariski denses, nous montrons qu’elles sont totalement non-hyperboliques, au sens o๠l’image de toute courbe fermée simple est elliptique ou parabolique. Nous montrons aussi qu’elles sont géométrisables (hormis celles qui sont réductibles) en un sens très fort : pour tout élément de l’espace de Teichmà¼ller, il existe une unique application équivariante holomorphe à  valeurs dans le demi-plan inférieur. Nous montrons également que les représentations supra-maximales forment des composantes compactes des variétés de caractère relatives. Muni de la structure symplectique de Atiyah-Bott-Goldman, ces composantes sont symplectomorphes à  l’espace projectif complexe muni d’un multiple de la forme de Fubini-Study que nous calculons explicitement. Cela généralise un résultat de Benedetto-Goldman pour la sphère à  quatre trous.

Félix le chat est célèbre pour son sac à  malice, qui contient beaucoup plus de grands objets que son aspect extérieur ne laisse supposer. Le but de l’exposé est d’expliquer une construction d’un sac à  malice (une boule riemannienne de grand volume et petit bord) à  courbure négative, qui est un contre-exemple à  deux questions naturelles, l’une isopérimétrique, l’autre sur les extensions complètes.
(Collaboration avec Greg Kuperberg – UC Davis)