Séminaire de géométrie différentielle

Il est bien connu depuis la thèse de Margulis que les propriétés de mélange du flot géodésique des variétés riemanniennes fermées à courbure négative peuvent être utilisées pour obtenir divers résultats d’équidistribution : équidistribution des géodésiques fermées, ou encore équidistribution des orbites du groupe fondamental dans le revêtement universel. À l’aide des densités dites de Patterson-Sullivan, les idées de Margulis ont pu être appliquées à des contextes géométriques plus généraux ; par exemple par Roblin qui étudia des espaces localement CAT(-1) non compacts.

Dans cet exposé, nous discuterons de ces questions de mélange et équidistribution dans un autre contexte géométrique : celui des variétés projectives convexes, autrement dit des quotients d’ouverts proprement convexes d’un espace projectif réel. Ces variétés apparaissent naturellement lors de l’étude de certains sous-groupes discrets des groupes de Lie. Leurs droites projectives sont des géodésiques pour une certaine métrique finslérienne, dite de Hilbert (qui n’est en général pas CAT(0)), et on leur associe naturellement un flot géodésique. Les résultats qui seront présentés sont issus d’une collaboration avec Feng Zhu.

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Il est naturel de regarder des transformations birationnelles du plan, càd des isomorphismes des ouverts de Zariski du plan. Il y en a beaucoup qui sont des involutions et on peut se mettre à les classifier à conjugaison près. Sur le corps des nombres complexes une telle involution possède des courbes fixes rationnelles ou bien une unique courbe fixe irrationnelle. Dans ce dernier cas, les classes de conjugaison des involutions sont à bijection avec les classes d’isomorphismes des courbes fixes. Pas surprenant, ce n’est plus le cas sur le corps des nombres réels…
Je vais motiver la classification dans le cas complexe et ensuite je vais raconter ce qui est connu dans le cas réel.

Comme tous les « séminaires communs de géométrie », nous aurons de 14h à 14h45 une introduction au sujet de niveau Colloquium, puis de 14h45 à 15h15 une pause thé-gateaux-géométrie, puis de 15h15 à 16h la suite de l’exposé de recherche.

Le problème de Wentzel est un problème spectral avec les valeurs propres dans les conditions au bord. En effet, il s’agit en quelque sorte d’une perturbation du problème de Steklov, plus connu, dont le spectre correspond à celui de l’opérateur Dirichlet-to-Neumann et qui est un cas particulier correspondant à la valeur zéro du paramètre de perturbation dans le problème de Wentzel.

Bien que le problème de Wentzel partage certaines propriétés communes avec et le problème de Steklov et le problème fermé sur les hypersurfaces, ses valeurs propres et fonctions propres ont un certain nombre de caractéristiques géométriques distinctives dûes au paramètre de perturbation, rendant le sujet particulièrement attrayant.

Dans cette présentation, nous discuterons des avancées récentes sur l’estimation des valeurs propres par rapport aux invariants géométriques du domaine considéré, tels que la courbure, le rapport isopérimétrique ou encore la concentration volumique du bord. Nous donnerons des Bornes sup ́erieures uniformes explicites, obtenues grâce à des méthodes de décomposition métrique sur la variété Riemannienne ambiante. Ceci permet d’établir des estimations optimales selon la loi asymptotique de Weyl.

Dans cet exposé, nous construirons un plongement f d'un disque fermé dans R^3 
dont la restriction à  l'intérieur du disque est un plongement C^1
isométrique du disque de Poincaré et qui est, sur le disque fermé,
beta-Hölder pour tout 0< beta <1. En particulier, ce plongement a une
courbe fermée plongée de dimension de Hausdorff 1 comme ensemble limite.

It is well-known that the space of Riemannian metrics on a smooth manifold is path-connected. Indeed, the convex combination of Riemannian metrics produces a Riemannian metric. This is not true, for the space of Lorentzian metric and a natural question pop up: Are there some natural operations that can be used to produce Lorentzian metrics starting from Lorentzian metrics?

This talk aims to provide sufficient conditions for some kind of linear combination of Lorentzian metrics to be a Lorentzian metric. In particular, the notion of paracausal deformation of a Lorentzian metric will be introduced and discussed in detail. After few characterizations, I will discuss shortly the consequences in quantum field theory.

Exposé en visio-conférence, retransmis en direct en salle de conférence de l’IECL Nancy. Lien public

https://webvisio.univ-lorraine.fr/index.html?id=5147&secret=84a837ee-c66c-4d9b-bd75-6f0d540a8c34

Résumé : l’étude des variétés à courbure scalaire positive a longtemps uniquement montré des restrictions de nature topologique sur ces dernières. Ces dernières années des résultats de nature plus quantitative ont été montrés d’abord par Gromov, puis (entre autres) par Zhu. Zhu en particulier montre que qu’une métrique à scal≥2 sur S²xT^(n-2) (avec n≤7) admet une 2-sphère topologiquement non triviale d’aire au plus 4π. Après avoir exposé ces résultats on en montrera des analogues pour S²xS² et S²xR².

Irreducible characters form an interesting basis in the space of of class functions (i.e. functions constant on conjugacy classes) on a finite group G, the goal of harmonic analysis and representation theory is to study properties and applications of that basis.

If G is a reductive p-adic group, such as the group of invertible matrices with p-adic entries, then irreducible characters are known to behave in a regular way not only on conjugacy classes (on  which they are constant) but also on the so called stable conjugacy classes, i.e. the set of elements conjugate over the algebraic closure of the base field (for example, two sheets of a hyperboloid in R^3 are two SL(3,R) orbits inside a single stable orbit). This is studied in the theory of endoscopy in harmonic analysis on p-adic group.

I will give an overview of a long term joint project with Kazhdan and Varshavsky aimed at applying algebraic geometry, including l-adic sheaves, to problems in that theory.

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Comme tous les Séminaires Communs de Géométrie, cet exposé sera en deux parties : une première partie « colloquium » de 14h à 14h45, puis une partie plus avancée de 15h15 à 16h. Une pause thé-gateaux-géométrie vous est proposée entre les deux exposés.