Séminaire de géométrie différentielle

Les flots de Reeb sont une famille spéciale de flots qui préservent le volume dont la dynamique, en dimension 3, a été beaucoup étudie les derniers 30 ans. Nous savons par exemple que tout champs de Reeb a au moins deux orbites périodiques et que certains d’entre eux admettent des sections de Birkhoff. Si on considère un champ de vecteurs qui admet une section de Birkhoff dont le bord est un entrelac L, alors la variété ambiante privée de L fibre sur le cercle. Les fibres définissent un livre ouvert de la variété. Nous disons que le champ de vecteurs est porté par le livre ouvert.

Nous avons montré que tout champ de Reeb non-dégénéré est porté par un livre brisé (une généralisation de la notion de livre ouvert). Grâce à  cette construction, nous avons étudié certains aspects de la dynamique des flots de Reeb : nous établissons par exemple, qu’un champ de Reeb non-dégénéré a deux ou une infinité d’orbites périodiques ; et que tout champ de Reeb non-dégénéré sur une variété non-graphée est d’entropie topologique positive. Ceci est un travail en collaboration avec Vincent Colin et Pierre Dehornoy.

The Willmore energy arises naturally as a measure of how curved an immersed surface in $mathbb{R}^3$ is, with applications in relativity (the Hawking mass). Willmore immersions are critical points of this energy. We will study sequences of Willmore surfaces, which are subject to concentration-compactness i.e. : bubbling phenomena. We will focus on simple minimal bubbles, and detail consequences on the compactness below certain thresholds.

This talk is about a joint work, still in progress, with Friedrich Tomi (Heidelberg University, Germany) where one investigates the existence of solutions which are invariant by a Lie subgroup of the isometry group of a Riemannian manifold $M$; acting freely and properly on $M$, to the Dirichlet problem of a certain class of partial differential equations on $M$: Typical examples of this class are the $p$-Laplacian PDE and the minimal surface equation. This approach may reduce the study of the Dirichlet problem in unbounded to bounded domains and also allows to prove the existence of solutions on domains which are not necessarily mean convex in the case of the minimal surface equation for certain boundary data.

It is known that minimal surfaces are unknotted in 3-sphere. We will see how this fact can be generalized.

La notion de représentation maximale du groupe fondamental d’une surface dans un groupe de Lie hermitien généralise naturellement la notion de représentation fuchsienne dans $PSL(2,mathbb{R})$. Dans cet exposé, j’expliquerai comment construire une unique surface maximale dans l’espace pseudo hyperbolique $mathbb{H}^{2,n}$ qui est préservée par l’action d’une représentation maximale dans un groupe de Lie de rang 2. Comme conséquence, nous prouvons une conjecture de Labourie pour les représentations maximales en rang 2. Il s’agit d’un travail en commun avec Brian Collier et Nicolas Tholozan.

J’expliquerai comment un principe de compacité-concentration permet de montrer divers résultats, nouveaux ou déjà  connus, concernant la constante d’observabilité de l’équation des ondes, puis en application, des résultats sur les mesures quantiques d’une variété riemannienne compacte. Il s’agit de travaux en collaboration avec Y. Privat et E. Trélat.

Dans cet exposé, on établira des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une 2-variété riemannienne soit isométriquement immergée comme surface à  courbure moyenne constante dans certaines variétés produits. De plus, dans le cas o๠la 2-variéte riemannienne a une courbure intrinsèque constante, on classifiera ces immersions isométriques. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Benoît Daniel (UL) et Feliciano Vità³rio (UFAL).

In this talk, we will show some results about quasi-Einstein manifolds. Quasi-Einstein manifolds can be characterized as bases of Einstein warped products. On the first part, we investigated the infinity structure of a complete non-compact quasi-Einstein manifolds. In particular, we show that if M is a base of a Ricci-flat warped product then M is connected at infinity. When M is the basis of an Einstein warped product with Einstein constant λ < 0, there are examples with more than one end. In this case, we show that M is non-parabolic and, on a given hypothesis about scalar curvature, M has only one end f-non-parabolic. In addition, we obtain two estimates for the volume of the geodesic balls of M. On the second part, we will show that Bach-flat non-compact quasi-Einstein manifolds with λ = 0 and positive Ricci curvature are isometric to a rotationally symmetric metric whose fiber is a Einstein manifold.

This is joint work with R. Batista and E. Ribeiro Jr.

Si l’on fait une variation $C^1$ d’une métrique à  courbure négative sur une variété compacte, alors l’entropie du flot géodésique (invariant dynamique naturel) varie de manière $C^1$. Ce résultat est dà» à  Katok-Knieper-Weiss. Dans un travail en commun avec Samuel Tapie, nous montrons que ce résultat est valide pour une large classe de variétés non compactes à  courbure négative. J’introduirai les notions intervenant dans ce résumé, et quelques idées des preuves.

On introduit une distance sur l’ensemble des corps convexes de l’espace euclidien de dimension n, à  translations et homothéties près. Cet ensemble se plonge isométriquement comme un convexe de l’espace hyperbolique de dimension infinie. La structure lorentzienne ambiante est donnée par une extension de l’aire intrinsèque des corps convexes. On en déduit que l’ensemble des formes des corps convexes (c’est-à -dire les corps convexes à  similitudes près) est muni d’une distance propre de courbure plus grande que -1. Pour les convexes en dimension 3, cet espace est homéomorphe à  l’espace des métriques sur la sphère de courbure positive.