Séminaire de géométrie différentielle

Après avoir introduit le groupe de Cremona j’expliquerai comment on peut étudier ses sous-groupes résolubles et les plongements du groupe de Heisenberg dans celui-ci.

Les catégories de Fukaya sont des catégories A_infini dont les objets sont les sous-variétés lagrangiennes d’une variété symplectique ; trouver un système générateur pour celles-ci permet d’extraire de l’information fine sur la topologie de ces sous-variétés lagrangiennes. Dans cet exposé j’introduirai les notions de base du sujet (sous-variétés lagrangiennes, catégories A-infini, systèmes générateurs …) dans le cadre des variétés de Weinstein (qui contient le cas des fibrés cotangents). Je décrirai ensuite un système de générateurs dans ce contexte et expliquerai comment celui-ci peut-être utilisé pour permettre des calculs explicites d’invariants des sous-variétés lagrangiennes afin d’étudier leur topologie. C’est une combinaison de divers travaux dont certains en collaboration avec G. Dimitroglou-Rizell, P. Ghiggini et R. Golovko.

Des travaux de A. Fraser et R. Schoen ont récemment relancé l’intérêt pour les surfaces minimales à bord libre. De nombreux exemples de surfaces minimales à bord libre dans la boule unité ont notamment été construits. De telle surfaces ne sont jamais des minimums de la fonctionnelle d’aire, et on quantifie combien elles sont loin d’être des minimums à l’aide d’un nombre entier, l’indice de Morse. Dans cet exposé, je présenterai des résultats concernant l’indice de Morse des surfaces minimales à bord libre dans la boule unité ; une question ouverte est notamment de classifier de telles surfaces de petit indice.

The Gauss curvature measure of a pointed Euclidean convex body is a measure on the unit sphere which extends the notion of Gauss curvature to non-smooth bodies. Alexandrov’s problem consists in finding a convex body with given curvature measure. In Euclidean space, A.D. Alexandrov gave a necessary and sufficient condition on the measure for this problem to have a solution.

In this paper, we address Alexandrov’s problem for convex bodies in the hyperbolic space $\mathbf{H}^{m+1}$ . After defining the Gauss curvature measure of an arbitrary hyperbolic convex body, we completely solve Alexandrov’s problem in this setting. Contrary to the Euclidean case, we also prove the uniqueness of such a convex body. The methods for proving existence and uniqueness of the solution to this problem are both new.

En collaboration avec Felix Schulze (Warwick University)

Les solutions auto-similaires expansives du flot de Ricci sont des solutions n’évoluant que par homothéties et difféomorphismes. De telles solutions sont aussi appelées solitons (gradients) expansifs de Ricci. Ces métriques sont de bons candidats pour lisser instantanément des singularités métriques (isolées) éventuellement kahlériennes. Nous traitons ici la question de l’unicité de telles solutions ayant pour condition initiale un cône métrique fixé. Comme première étape, nous développons une fonctionnelle de Lyapunov appelée entropie relative dans ce contexte.

En collaboration avec Felix Schulze (Warwick University)

Les solutions auto-similaires expansives du flot de Ricci sont des solutions n’évoluant que par homothéties et difféomorphismes. De telles solutions sont aussi appelées solitons (gradients) expansifs de Ricci. Ces métriques sont de bons candidats pour lisser instantanément des singularités métriques (isolées) éventuellement kahlériennes. Nous traitons ici la question de l’unicité de telles solutions ayant pour condition initiale un cône métrique fixé. Comme première étape, nous développons une fonctionnelle de Lyapunov appelée entropie relative dans ce contexte.

Dans cet exposé, je présenterai des travaux récents sur le flot géodésique des variétés non-compactes à  courbure négative, dont la plupart sont en collaboration avec B. Schapira et S. Gouà«zel. Je commencerai par rappeler le contexte géométrique et certains de ses liens avec la théorie géométrique des groupes et l’analyse sur les variétés. Puis je présenterai diverses visions classiques de l’entropie du flot géodésique en courbure négative, à  partir desquelles j’introduirai la notion d’entropie à  l’infini.

On dit qu’une variété présente un « trou critique » si l’entropie totale est strictement plus grande que l’entropie à  l’infini. J’expliquerai enfin pourquoi ce concept de trou critique semble central pour l’étude des dynamiques non-compactes, et je présenterai divers résultats que nous avons obtenu à  ce sujet et quelques travaux en cours.

Les flots de Reeb sont une famille spéciale de flots qui préservent le volume dont la dynamique, en dimension 3, a été beaucoup étudie les derniers 30 ans. Nous savons par exemple que tout champs de Reeb a au moins deux orbites périodiques et que certains d’entre eux admettent des sections de Birkhoff. Si on considère un champ de vecteurs qui admet une section de Birkhoff dont le bord est un entrelac L, alors la variété ambiante privée de L fibre sur le cercle. Les fibres définissent un livre ouvert de la variété. Nous disons que le champ de vecteurs est porté par le livre ouvert.

Nous avons montré que tout champ de Reeb non-dégénéré est porté par un livre brisé (une généralisation de la notion de livre ouvert). Grâce à  cette construction, nous avons étudié certains aspects de la dynamique des flots de Reeb : nous établissons par exemple, qu’un champ de Reeb non-dégénéré a deux ou une infinité d’orbites périodiques ; et que tout champ de Reeb non-dégénéré sur une variété non-graphée est d’entropie topologique positive. Ceci est un travail en collaboration avec Vincent Colin et Pierre Dehornoy.

The Willmore energy arises naturally as a measure of how curved an immersed surface in $mathbb{R}^3$ is, with applications in relativity (the Hawking mass). Willmore immersions are critical points of this energy. We will study sequences of Willmore surfaces, which are subject to concentration-compactness i.e. : bubbling phenomena. We will focus on simple minimal bubbles, and detail consequences on the compactness below certain thresholds.

This talk is about a joint work, still in progress, with Friedrich Tomi (Heidelberg University, Germany) where one investigates the existence of solutions which are invariant by a Lie subgroup of the isometry group of a Riemannian manifold $M$; acting freely and properly on $M$, to the Dirichlet problem of a certain class of partial differential equations on $M$: Typical examples of this class are the $p$-Laplacian PDE and the minimal surface equation. This approach may reduce the study of the Dirichlet problem in unbounded to bounded domains and also allows to prove the existence of solutions on domains which are not necessarily mean convex in the case of the minimal surface equation for certain boundary data.