Jean-Pierre Demailly

Nous expliquerons comment l’étude des points rationnels des variétés algébriques amène naturellement à étudier les « courbes entières » tracées dans une variété algébrique lisse, c’est-à-dire les courbes paramétrées par des fonctions holomorphes définies sur tout entier, et satisfaisant une ou plusieurs équations polynomiales.

L’objectif de l’exposé sera de présenter une introduction élémentaire à un résultat récent, stipulant que si le degré des équations est suffisant (en un certain sens), alors de telles équations doivent satisfaire de multiples équations différentielles algébriques.

Hugo Duminil-Copin

La compréhension de la physique statistique planaire a été métamorphosée dans la dernière décennie grâce aux travaux de Kenyon, Lawler, Schramm, Smirnov et Werner pour ne citer qu’eux. Dans cet exposé, je me propose de présenter le rôle crucial joué par la notion d’holomorphicité discrète dans ces progrès. Nous insisterons également sur les connections entre la physique statistique planaire, la combinatoire, les systèmes intégrables, les probabilités et la physique mathématique.

Nous introduirons la notion d’observable parafermionic dont l’holomorphicité discrète (partielle) permet d’estimer le nombre de marches auto-évitantes dessinées sur le réseau hexagonal, ou de comprendre les transitions de phase dans les coloriages aléatoires du réseau carré. Ces deux exemples illustrent un programme plus général, dont les applications ne se résument pas à ces deux résultats. Par exemple, l’holomorphicité discrète de cette observable permet également de montrer l’invariance conforme du modèle dans certains cas particuliers.

Nous introduirons les notions d’holomorphicité discrète, d’invariance onforme, de transition de phase, etc… En particulier, aucune connaissance de ces domaines n’est requise pour suivre cet exposé.

Robert Bryant

Many problems in mechanics and control theory involve motion planning when there are constraints on how the objects can move in configuration space. For example, wheels, balls, or more general shapes that roll over a surface without twisting or slipping move in a configuration space in such a way that motion is only possible in certain directions and not in others. Developing methods to effectively control such motions turns out to have surprising connections with differential geometry, and (in an insight that is originally due to Élie Cartan) even with the 14-dimensional exceptional group now known as [latex]G_2[/latex].
In this talk, I will explain some physical motivation and history of this kind of problem, including some recent surprising results recently due to Nurowski and An showing that exceptional geometry can show up in a simple mechanical system in some very unexpected ways.

Dominique Cerveau

Ce groupe intervient dans l’étude qualitative des équations différentielles ordinaires. Nous decrirons à conjugaison près quelques éléments de ce groupe et nous intéresserons à sa struc- ture algébrique (sous groupes nilpotents, résolubles ou libres). Nous présenterons quelques résultats de représentations de « groupes de Poincaré » à valeurs dans ce groupe et nous donnerons quelques problèmes ouverts. Il n’y a pas de prérequis si ce n’est quelques notions élémentaires de fonctions holomorphes.

Yves Derriennic

Une trajectoire du mouvement brownien est une fonction continue dont les variations sont soumises à un maximum de hasard. Un sens précis est donné à cette assertion par la construction de la mesure de Wiener fondée sur la renormalisation d’une marche aléatoire sur les entiers. Cette méthode permet une approche intuitive des propriétés remarquables du brownien : variation totale infinie et différentiabilité fractionnaire des trajectoires, ensemble des zéros « parfait » et de dimension de Hausdorff 1/2. . .

Sur le plan ou l’espace euclidien, des mouvements browniens « à plusieurs paramètres » ont été définis en tant que processus Gaussiens. Mais il est aussi possible d’utiliser encore l’idée de renormalisation en l’appliquant à une marche aléatoire « à temps discret multidimensionnel ».

Dans cet exposé nous discuterons les problèmes suscités par ce point de vue. Certains sont de nature algé- brique, d’autres relèvent de la percolation stationnaire. Nous rappellerons pour commencer les éléments sur le mouvement brownien ordinaire.

Bernhard Keller

Nous présenterons la définition et les premiers exemples des algèbres amassées (cluster algebras) introduites par Fomin et Zelevinsky en 2002. Nous montrerons ensuite comment les générateurs canoniques de ces algèbres peuvent s’exprimer à l’aide d’objets géométriques qui généralisent les grassmanniennes. Ces expressions ont permis de montrer une série de conjectures sur les algèbres amassées.

Frank Pacard

L’étude des surfaces à courbure moyenne constante dans l’espace euclidien de dimension 3 et l’étude des ondes stationnaires pour l’équation de Schödinger non linéaire qui sont définies dans le plan sont a priori des problèmes qui n’ont pas grand chose à voir. Pourtant, on peut construire pour ces deux problèmes de surprenantes solutions dont le groupe de symétrie est réduit à l’identité et les constructions sont curieusement très proches.

Patrick Joly

Dans cet exposé, je présenterai les résultats d’un travail de coopération interdisciplinaire entre l’équipe POems (CNRS – ENSTA – INRIA) et l’Unité de Mécanique de l’ENSTA sur la simulation numérique d’un piano de concert à partir d’un modèle physique complet de l’instrument. Ce travail s’inscrit dans le cadre d’une collaboration à plus long terme sur la simulation numérique en acoustique musicale.

Compte tenu de la complexité du modèle, il est impossible d’évoquer tous les aspects du probleme dans un exposé d’une heure. Je ferai le choix d’insister sur la construction du modèle mathématique sous la forme d’un système d’équations aux dérivées partielles couplées permettant de prendre en compte l’intégralité des principaux phénomènes mis en jeu et leur couplage : l’interaction entre le marteau et la corde, les vibrations de celle-ci et leur transmission à la table d’harmonie au travers du chevalet et enfin le rayonnement acoustique tridimensionnel. On mettra en évidence l’adéquation du modèle aux observations expérimentales. Je présenterai ensuite brièvement les grandes lignes et les propriétés principales de la méthode numérique mise en oeuvre. La dernière partie de la présentation sera consacrée aux résultats numériques, ce qui inclut des comparaisons calcul/expérience et des exemples plus musicaux.

Cédric Bonnafé

L’exposé se propose de dresser un panorama des divers domaines mathématiques (théorie des invariants, topologie, géométrie, théorie de Lie…) dans lesquels les groupes de réflexions peuvent apparaître, soit comme cœur de la théorie, soit comme curiosité, soit comme pont entre plusieurs problèmes.

En fin d’exposé seront abordées les questions récentes soulevées par les travaux sur les invariants diagonaux (déformation, résolution des singularités, théorie des représentations).

Antoine Ducros

À tout nombre premier [latex]p[/latex], on associe un corps dit des nombres p-adiques. Nous expliquerons la construc- tion de ces corps, et certains de leurs nombreux intérêts arithmétiques, en insistant notamment sur leurs applications à l’étude de problèmes diophantiens (équations polynomiales à coefficients dans [latex]mathbf{Q}[/latex]).

Dans un second temps, nous parlerons de la géométrie sur un corps p-adique, qui est muni d’une métrique aux propriétés un peu étranges : tout triangle est isocèle, tout point d’une boule en est un centre…. Nous évoquerons différentes approches des « variétés analytiques p-adiques », depuis un joli résultat de Serre dans les années 50, qui fait avec les bizarreries signalée, jusqu’à la théorie de Berkovich, qui y remédie en rajoutant des points aux espaces étudiés pour «améliorer» leur topologie.