Jean-Louis Colliot-Thélène

Etant donné un polynôme [latex]f(x_1, . . . , x_n)[/latex] de degré [latex]d[/latex] à coefficients rationnels, peut-on résoudre l’équation [latex]f(x_1, . . . , x_n) = 0[/latex] en nombres rationnels ? Si oui, que peut-on dire de l’ensemble de ses solutions (densité, nombre de solutions de taille donnée) ? Ce sont là bien sûr de vieilles et difficiles questions, et les réponses sont partielles.

Jochen Brüning

A “Dirac system” is a model for Dirac operators which is a family of symmetric first order elliptic differential operators tied to the geometry of a Riemannian manifold. However, the model is much simpler than the Dirac operators themselves : it is merely a first order ordi- nary differential equation with operator coefficients. A point of the talk is to explain in what sense this operator valued differential equations behave like a matrix valued, true ordinary differential equation; or one might say, to explain in what sense the geometric situation modeled is “almost one dimensional”.

This is certainly not true in general since not all phenomena in higher dimensions can be reduced to one dimension but in certain situations this approach leads to very valuable in- formation. One example we will explain in detail is the case of complete manifolds with thin ends, like cylinders or cusps. Another case of interest arises in situations with symmetries (“scaling”) which applies locally in many situations.

The talk will proceed from simple notions to geometric situations, explaining the necessary definitions along the way. It will be acceptable to graduate students and non specialists of geometric analysis in general.

Jean-Paul Delahaye

La théorie de la calculabilité a permis de formuler des mesures de complexité des objets finis qui sont maintenant considérées comme des outils importants y compris en physique et en biologie. L’exposé présentera la notion de complexité de Kolmogorov et la notion de profondeur logique de Bennett et tentera de justifier la définition de cette dernière.

Michel Broué

Beaucoup de propriétés du groupe [latex]GL_n(F_q)[/latex] (où [latex]F_q[/latex] désigne un corps fini à [latex]q[/latex] éléments), de sa théorie de Sylow à ses représentations en caractéristique finie, en passant par les valeurs de ses caractères, suggèrent que ce groupe devrait être vu comme la spécialisation en [latex]x = q[/latex] d’un objet mystérieux, [latex]GL_n(x)[/latex]. Nous présenterons quelques uns des indices de l’existence de ces mystérieux objets.

Christian Mauduit

Nous présentons des travaux récents concernant l’étude et la construction de suites finies binaires pseudo-aléatoires. En particulier, nous avons introduit dans une série de travaux en collaboration avec András Sárközy de nouvelles mesures du caractère pseudo-aléatoire de ces suites qui sont liées à l’étude de leur répartition dans les progressions arithmétiques et de leurs corrélations.

Nous étudions et nous comparons plusieurs constructions telles que la suite de Champer- nowne, le symbole de Legendre, les suites automatiques, la fonction de Liouville et aussi une construction due à Paul Erdös et liée à un problème d’approximation diophantienne.

Nous présentons également des résultats et des questions ouvertes concernant les relations entre ces différentes mesures ainsi que leurs valeurs moyennes et leurs valeurs extrémales.

Jean-François Le Gall

Les arbres aléatoires continus sont les objets probabilistes qui apparaissent comme limites des arbres discrets décrivant la généalogie d’une population sur une longue période de temps.

L’exposé présentera une construction de ces arbres continus et discutera certaines de leurs propriétés, en mettant l’accent sur l’arbre continu d’Aldous.

Dans la mesure du temps disponible, on décrira aussi les liens avec une classe d’ÉDP semi-linéaires et avec certains modèles de mécanique statistique ou de systèmes infinis de particules.

Emmanuel Hebey

Étant donnée une variété riemannienne compacte de dimension n ≥ 3, l’inégalité de Sobolev- Poincaré considérée fournit l’existence de deux constantes positives A et B, qui dépendent a priori de la variété, telles que pour toute fonction u, ∥u∥2⋆ ≤ A∥∇u∥2 + B∥u∥21 où 2⋆ = 2n/(n − 2) est l’exposant critique des plongements de Sobolev.

Cette inégalité raffine l’inégalité de Sobolev classique. Sa version “Poincaré” remonte à l’ouvrage de Courant et Hilbert datant de la fin des années 1930. Telle qu’écrite ci-dessus, elle remonte aux travaux de Nirenberg datant de la fin des années 1950.

On présentera dans cet exposé une étude complète de la version optimale de cette inégalité. On insistera en particulier sur les phénomènes géométriques et de petite dimension qui sont attachés à cette étude.

Michel Piecuch

L’idée de l’électronique de spin est d’utiliser le degré de liberté supplémentaire lié au moment magnétique intrinsèque de l’électron pour créer de nouveaux dispositifs pour l’électronique.

Une telle idée est en train d’être mise en œuvre dans de nombreux laboratoires de physique dans le monde.

Cet exposé discutera, d’abord, l’intérêt de l’électronique de spin. On décrira, ensuite, les phénomènes physiques qui peuvent être utilisés pour développer cette électronique de spin : anisotropie de magnétoresistance, magnétoresistance géante, effet tunnel dépendant du spin.

On montrera, enfin, comment ces phénomènes physiques peuvent être mis en œuvre pour réaliser des dispositifs, théoriques ou réels comme des capteurs, des transistors ou des mé- moires à accès aléatoire.

Pascal Massart

Une situation très fréquente en statistique est l’estimation d’une relation fonctionnelle y = f(x) à partir de l’observation de n réalisations indépendantes mais bruitées du couple (x, y). La fonction f est bien sûr inconnue.

Deux approches sont généralement utilisées. La première dite “paramétrique” consiste à modéliser a priori la fonction recherchée à l’aide d’une famille dépendant d’un nombre fini (petit) de paramètres réels. La théorie est asymptotique (n → ∞). Si le modèle est in- adapté cette technique est vouée à l’échec. La deuxième dite “non paramétrique” remplace l’appartenance à une famille paramétrique par une information sur la “variabilité de f” ex- primée par un contrôle de sa régularité. Le gain est une réduction de l’erreur de modèle au prix d’une plus grande dispersion de l’estimateur de f.

Le but de cet exposé est de donner un aperçu de méthodes non asymptotiques offrant un bon compromis entre les deux précédentes par la sélection adaptative de modèles dans une “liste” dépendant du nombre d’observations n. L’outil mathématique principal est une inégalité de concentration de Michel Talagrand.

Ces méthodes seront illustrées par quelques exemples dans différents contextes, simulations à l’appui.

Gérard Schiffmann

Si un groupe de Lie opère sur une variété, de manière différentiable, il opère aussi sur l’espace des distributions sur cette variété. On peut donc parler de distributions invariantes. Une manière naturelle d’en construire est de considérer, quand elles existent, les mesures invariantes portées par les orbites et une question naturelle est de savoir si le sous-espace engendré par ces mesures est faiblement dense dans l’espace des distributions invariantes.

On montrera sur des exemples simples que la situation ne l’est pas, puis on passera en revue quelques cas ou des résultats positifs sont connus: action adjointe d’un groupe réductif, espaces préhomogènes commutatifs, espaces symétriques, en restant dans le cadre de l’analyse harmonique sur les groupes réductifs.

Une question plus élémentaire est de prouver que, dans certaines situations, toute distribu- tion invariante a en plus une symétrie externe. Ceci conduit à des résultats de multiplicité 1 dont le prototype est le théorème de branchement pour les représentations de dimension finie des groupes classiques.