Antoine Ducros

À tout nombre premier [latex]p[/latex], on associe un corps dit des nombres p-adiques. Nous expliquerons la construc- tion de ces corps, et certains de leurs nombreux intérêts arithmétiques, en insistant notamment sur leurs applications à l’étude de problèmes diophantiens (équations polynomiales à coefficients dans [latex]mathbf{Q}[/latex]).

Dans un second temps, nous parlerons de la géométrie sur un corps p-adique, qui est muni d’une métrique aux propriétés un peu étranges : tout triangle est isocèle, tout point d’une boule en est un centre…. Nous évoquerons différentes approches des « variétés analytiques p-adiques », depuis un joli résultat de Serre dans les années 50, qui fait avec les bizarreries signalée, jusqu’à la théorie de Berkovich, qui y remédie en rajoutant des points aux espaces étudiés pour «améliorer» leur topologie.

David Harari

Soit [latex]f(x_1,…,x_n)[/latex] une forme quadratique non dégénérée en n variables, à coefficients entiers. On cherche des critères pour déterminer si un entier a est représenté par [latex]f[/latex]. On donnera d’abord des conditions nécessaires simples, faisant intervenir des congruences, ou dans un langage plus élaboré des nombres [latex]p[/latex]-adiques. Puis on expliquera sous quelles hypothèses ces conditions peuvent être suffisantes, mais aussi comment des lois de réciprocité en arithmétique permettent d’obtenir des contre-exemples.

Yann Brenier

La théorie du transport optimal, dont l’origine remonte à Monge (1780) et Kantorovich (1942), a connu un succès grandissant, y compris en mathématiques « pures », durant les deux dernières décennies (ceci étant bien illustré par les deux volumes de C. Villani). On peut la voir comme une version « simplifiée » d’une théorie du transport optimal « incompressible », qui remonte en fait à Euler (1755) et son modèle de mécanique des fluides.

On examinera quelques résultats de cette théorie, ainsi que son interprétation géométrique dans la suite de V.I. Arnold et de son article de 1966.

Bertrand Deroin

Nous donnerons des exemples et certaines restrictions sur la topologie de certaines hypersurfaces réelles (dite Levi-plates) dans les surfaces algébriques complexes. Cela nous permettra de survoler la classification d’Enriques des surfaces algébriques complexes et le programme de géométrisation de Thurston pour les va- riétés de dimension 3 démontré par Perelman.

Nous expliquerons alors l’outil principal de notre technique : l’étude du mouvement Brownien le long du feuilletage de Levi et ses interprétations dynamiques et cohomologiques. C’est un travail en collaboration avec Christophe Dupont.

Gilles Carron

La topologie des variétés non compactes est par essence bien compliquée. Un aspect plus facile est d’es- sayer de comprendre le nombre de bout, c’est à dire le nombre de façon de partir à l’infini. Par exemple la droite réelle a deux bouts ([latex]pminfty[/latex]) alors que la plan en a un seul.

Il existe des outils analytiques/géométriques qui permettent de détecter si une variété non compacte a plusieurs bouts. Ces techniques peuvent donner des jolis résultats sur les hypersurfaces minimales, les variétés hyperboliques complexes.

On présentera donc les idées menant à ces outils et à leurs applications.

Ludovic Rifford

Toute surface dans l’espace euclidien hérite d’une distance géodésique correspondant aux longeurs mi- nimales des courbes tracées sur la surface entre deux points. Si on se donne une mesure de probabilité sur la surface, toute application de la surface dans elle-même transporte cette mesure vers une mesure image; la mesure « image » d’un ensemble n’étant rien d’autre que la mesure de son image réciproque par l’applica- tion. Etant données deux mesures de même masse, on peut se demander comment transporter la première mesure vers la deuxième de manière optimale relativement à la distance géodésique. Après avoir présenté des résultats assurant l’existence et l’unicité d’applications de transport minimisantes, on s’interessera à la régularités de ces applications. On expliquera en quoi la régularité de toutes les applications de transport entre de bonnes mesures est reliée à la géométrie de la surface.

Michel Brion

Lorsque l’on a un fibré principal sur un espace topologique, on peut former le fibré associé à un autre espace topologique dans lequel opère le groupe structural. Cependant, cette construction n’est pas toujours possible dans le cadre de la géométrie algébrique. L’exposé présentera des exemples et des résultats positifs dans cette direction, ainsi que quelques applications.

Laurent Mazliak

L’exposé concerne l’émergence de la statistique mathématique moderne en France au lendemain de la Première Guerre Mondiale. Après une description de la manière dont Emile Borel s’est emparé de la question du hasard mathématisé, nous nous intéresserons aux deux institutions qu’il a créées dans les années 1920, l’Institut de Statistique de l’Université de Paris en 1922 et surtout l’Institut Henri Poincaré en 1928. A l’IHP, une nouvelle publication, les « Annales de l’IHP » est fondée en 1931 et nous pencherons sur les premières publications qu’on y trouve concernant des sujets de statistique.

Nicolas Ressayre

Que peut-on dire du spectre de la somme de 2 matrices hermitiennes connaissant uniquement les spectres des 2 termes ? Bien que l’histoire de cette question élémentaire commence avec H. Weyl en 1912, elle n’a été résolue que très récemment. Un ingrédient essentiel dans cette résolution est une interprétation en terme de représentations ou d’action de groupes algébriques.

Soit [latex]G[/latex] un groupe complexe réductif (e.g. [latex]mathbf{C}^∗, SL_n(mathbf{C}), SO_n(mathbf{C})[/latex]). Soit [latex]H[/latex] un sous-groupe réductif de [latex]G[/latex]. Une représentation irréductible [latex]V[/latex] de [latex]G[/latex] est une représentation de [latex]H[/latex] qui n’est plus nécessairement irréductible. On se demande alors quels sont les sous-[latex]H[/latex]-modules irréductibles de [latex]V[/latex]. Nous présenterons quelques développements récents autour de cette question et en particulier ses liens avec celle concernant les matrices hermitiennes.

Serge Cantat

Le groupe de Cremona est formé de toutes les transformations du plan qui s’expriment à l’aide de fractions rationnelles en les coordonnées et qui admettent une application réciproque du même type. Je décrirai ce groupe et quelques unes de ses propriétés en le comparant à des groupes classiques, notamment aux groupes linéaires [latex]GL_n(k)[/latex].