François Baccelli (ENS Paris)

Résumé :

L’exposé portera sur les dynamiques déterministes sur des graphes aléatoires infinis. Une telle dynamique peut être vue comme un ensemble de règles de navigation sur les noeuds du graphe, qui sont des fonctions de la seule géométrie locale du graphe enraciné. Nous nous concentrerons sur des graphes aléatoires qui sont unimodulaires (vérifient les équations de transport de masse) et sur les règles de navigation qui sont covariantes (invariantes par isomorphismes de graphes enracinés).

Nous donnerons une classification de ces dynamiques basée sur les propriétés de leurs variétés stables. Cette classification est fondée sur l’identification d’une famille d’arbres aléatoires critiques dont les propriétés fondamentales seront présentées.

Ces notions seront illustrées par des exemples issus de la théorie des processus ponctuels, des processus de branchement, de la théorie des graphes aléatoires infinis et de celle des processus aléatoires.

Travail en collaboration avec M.-O. Haji-Mirsadeghi et A. Khezeli.

Jean-Yves Chemin (Université Pierre et Marie Curie)

Résumé:  Dans le cas des groupes commutatifs, l’espace des fréquences, c’est-à-dire l’espace de la variable de Fourier est l’ensemble des caractères, ou l ‘une de ses paramétrisations. Dans le cas familier de l’analyse sur $mathbf{R}^n$, il s’agit de l’ensemble des formes linéaires sur $mathbf{R}^n$. Rien de tel dans le cadre des groupes non commutatifs où l’on doit utiliser les représentations. Après avoir rappeler les points essentiels de cette théorie,  nous expliquerons les problèmes qu’elle pose et définirons la transformation de Fourier comme fonction sur un espace métrique complet  singulier  explicite.

Texte de l’auteur

James Maynard (University of Oxford)

James Maynard est un théoricien des nombres, professeur à l’université d’Oxford. Il s’est fait connaître en donnant une nouvelle preuve du théorème de Zhang concernant l’infinité des paires de nombres premiers séparés d’une quantité bornée.

En 2016, il a résolu une conjecture d’Erdös sur les grands écarts entre nombres premiers. C’est la conjecture résolue pour laquelle Erdös avait offert le prix le plus élevé.

Abstract: One of the oldest problems about prime numbers is asking how many primes there are of a given size in an arithmetic progression. Dirichlet’s famous theorem shows that there are large primes in the progression unless there is an obvious reason why not, but more refined questions lead quickly to statements equivalent to versions of the Riemann Hypothesis, which unfortunately remains unsolved.

Chengbo Zhu (National University of Singapore)

Olivier Debarre (ENS Paris)

La définition de la rationalité d’une variété algébrique X définie sur un corps K peut être donnée de deux façons.

La première, géométrique, est de dire que la variété X est très proche d’être un space affine K^n, c’est-à-dire qu’on peut  paramétrer, de façon presque biunivoque, a variété X par K^n (ici, n est la dimension de X).

La seconde, algébrique, est de demander que le corps des fonctions rationnelles sur X soit une extension transcendante pure de K, isomorphe donc au corps des fractions rationnelles K(T_1,…,T_n)$ en n indéterminées.

La question de décider si une variété algébrique donnée (par exemple par des équations polynomiales) est rationnelle ou non est en général très difficile mais est plus accessible du point de vue géométrique.

Après avoir présenté des exemples classiques, je parlerai de résultats spectaculaires obtenus récemment sur le comportement de la rationalité dans une famille de variétés (X_t) (l’ensemble des t pour lesquels X_t est rationnelle est-il ouvert, fermé, etc. ?).

Jan Derezinsky

(Université de Varsovie)

Abstract: First I will describe a certain natural holomorphic family of closed operators with interesting spectral properties. These operators can be fully analyzed using just trigonometric functions. Then I will discuss one- dimensional Schrödinger operators with inverse square potential and general boundary conditions, which I studied recently with S.Richard. Even though their description involves Bessel and Gamma functions, they turn out to be equivalent to the previous family.

Some operators that I will describe are homogeneous – they get multiplied by a constant after a change of the scale. In general, their homogeneity is weakly broken-scaling and induces a simple but nontrivial ow in the parameter space. One can say (with some exaggeration) that they can be viewed as « toy models of the renormalization group ».

Based on

Djalil Chafaï (Université Paris-Dauphine)

Résumé : 

Cet exposé présente quelques aspects de l’étude de modèles de matrices aléatoires, notamment le comportement des valeurs propres en grande dimension. Un effort particulier est fait pour mettre en avant la structure et les méthodes, entre analyse, probabilités, et physique statistique.

Élise Janvresse (Université de Picardie)

Résumé : Il est bien connu que les suites de Fibonacci croissent exponentiellement vite. En 2000, Viswanath a introduit les suites de Fibonacci aléatoires, définies par la relation de récurrence suivante :

F(n+1)= F(n)±F(n-1)

où le signe + ou – est donné par une suite de tirages à pile ou face.
Nous nous intéresserons dans cet exposé à la croissance des suites de Fibonacci aléatoires et de leurs généralisations.

Élise Janvresse est une spécialiste de théorie ergodique et probabilités. Après s’être intéressée au comportement asymptotique des systèmes de particules, son spectre scientifique s’est élargi aux suites de Fibonacci aléatoires, loi de Benford, marches aléatoires sur la sphère et le groupe orthogonal, applications au traitement d’images cérébrales, suspensions de Poisson et systèmes dynamiques en mesure infinie parmi d’autres sujets.

Elle est aussi une excellente vulgarisatrice, auteure de plusieurs livres, exposés grand public et articles dans de nombreux magazines.

Gilles Lebeau (Université de Nice)

Résumé de l’exposé. Dans l’article « Restriction of Fourier Transform to Quadratic Surfaces and Decay of Solutions of Wave Equations. Duke Math. Journal, 44, 1977 », R. Strichartz a introduit les inégalités qui portent son nom, pour résoudre certaines équations d’ondes non linéaires. Elles sont devenues un outil fondamental pour l’étude du problème de Cauchy pour les équations d’évolutions dispersives non linéaires (ondes, Schrödinger,…) et en analyse harmonique pour l’étude des estimations Lp des projecteurs spectraux. Nous présenterons ces inégalités, ainsi que des résultats récents (en collaboration avec R. Lascar, O. Ivanovici et F. Planchon) dans des domaines bornés, et certains problèmes ouverts.

Stéphane de Bièvre
(Université de Lille)

Que les systèmes macroscopiques isolés tendent vers un état d’équilibre thermodynamique est une loi de base de la thermodynamique. Expliquer comment et pourquoi ceci se passe en termes de la dynamique sous-jacente des constituents de ces systèmes reste un problème difficile et largement ouvert et activement étudié. Après avoir posé le problème, je passerai en revue quelques résultats récents sur des systèmes modèle simples.