Nancy-Metz number theory seminar

One of the central topics in number theory is the study of $L$-functions and the distribution of their zeros. For example, the celebrated Prime Number Theorem is equivalent to the fact that the Riemann zeta function $\zeta(s)$ does not vanish on the line $\text{Re}(s)=1$. In this talk, we will focus on quadratic Dirichlet $L$-functions: in particular, the real zeros of the derivative of quadratic Dirichlet $L$-functions $L^\prime (s, \chi_d)$, where $d$ ranges over fundamental discriminants. Baker and Montgomery conjectured that there are $\asymp \log \log |d|$ real zeros of $L^\prime(s, \chi_d)$ in the interval $[1/2, 1]$ for almost all fundamental discriminants $d$. We will highlight some recent exciting progress that comes close to proving this conjecture and then outline the proof, which is based on ideas coming from analytic and probabilistic number theory. This is based on recent joint work with Youness Lamzouri.

Soit $b\geq2$ un entier et $\mathcal{N}_b=\{0,1,\ldots,b-1\}$ l’ensemble des chiffres associé. Tout nombre réel $x\in[0,1]$ admet une représentation de la forme \[x=\sum_{k\geq1} a_kb^{-k}=0.a_1a_2a_3\ldots,\] avec $a_k\in\mathcal{N}_b$. Le nombre $x$ est dit normal en base $b$ si pour tout entier $\ell\geq1$ toute suite $d_1\ldots d_\ell$ de longueur $\ell$ d’éléments de $\mathcal{N}_b$ a la même fréquence d’apparitions $b^{-\ell}$, i.e. \[\lim_{n\to\infty}\frac1n \#\left\{0\leq k< n\colon a_{k+1}=d_1,\ldots,a_{k+\ell}=d_\ell\right\} =b^{-\ell}. \]

Michel Mendés France a demandé s’il existe un nombre réel $x$ tel que $x$ et $1/x$ soient normaux en base $2$. Dans cet exposé nous allons construire un tel nombre et montrer qu’il est calculable. En particulier, nous allons montrer que $x$ et $1/x$ sont normaux en toute base $b\geq2$ et également normaux par rapport à l’écriture en fraction continue.

Il s’agit d’un travail en commun avec Verónica Becher de l’Université de Buenos Aires.

Un ensemble de Sidon d’un semi-groupe est un ensemble dont toutes les sommes de deux éléments sont distinctes. Des travaux de Bose, Chowla et Erdős établissent que le cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans un intervalle d’entiers de cardinal $n$ est équivalent à $\sqrt{n}$. Nous nous intéresserons au cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans l’union (de cardinal $n$) de deux intervalles. Un résultat d’Abbott affirme qu’il est supérieur à $0,0805\sqrt{n}$. Nous améliorerons cette borne et prouverons que ce cardinal est en fait supérieur à $0,8444\sqrt{n}$. Nous parlerons également d’autres résultats à propos des ensembles de Sidon et d’une de leurs généralisations : les ensembles $B_2[g]$.

Soient $\theta$ et $\rho$ des nombres réels avec $0 \le \theta, \rho < 1$ et $\theta$ irrationnel. Pour $n \ge 1$, posons $$ s_n := s_n (\theta, \rho) = \big\lfloor n \theta + \rho \big\rfloor – \big\lfloor (n-1) \theta + \rho \big\rfloor $$ Alors, le mot infini $$ {\bf s}_{\theta, \rho} := s_1 s_2 s_3 \ldots $$ est le mot sturmien (inférieur) de pente $\theta$ et d’intercept $\rho$, écrit sur l’alphabet $\{0, 1\}$. Nous explicitons le développement en fraction continue du nombre réel $$ \xi_{b, \theta, \rho} = (b-1) \, \sum_{n \ge 1} \, {s_n (\theta, \rho) \over b^n}. $$ Cela nous permet d’obtenir une formule donnant son exposant d’irrationalité en fonction de $\theta$ et du développement d’Ostrowski de $\rho$ en base $\theta$. Nous étendons ainsi un résultat classique de Böhmer (1927) qui ne couvre que le cas où $\rho = \theta$ et contient par exemple la surprenante égalité $$ \sum_{j \ge 1} {1 \over 2^{\lfloor j \gamma \rfloor} } = [0; 1, 2, 2, 2^2, 2^3, 2^5, 2^8, 2^{13}, 2^{21}, \ldots ], \quad \gamma = {1 + \sqrt{5} \over 2}. $$ Il s’agit d’un travail en commun avec Michel Laurent.

Soit $O_K$ l’anneau d’entiers algébriques d’un corps de nombres. Pour $a \in O_K \setminus \{0\}$ soit $N(a)$ la norme absolue de $a$, et $M = \{N(a) \colon a \in O_K \setminus \{0\} \}$. Il est bien connu que $M$ est un sous-semi-groupe multiplicatif de $\mathbb{N}^{\ast}$. Nous essayons de comprendre l’arithmétique de ces semi-groupes. Cela nous amène à étudier des suites à somme nulle pondérée sur des groupes abéliens finis.

Travaux en commun avec Safia Boukheche, Kamil Merito et Oscar Ordaz.

Let $p$ be a prime number. For each positive integer $k\geq 2$, it is widely believed that the smallest prime that is a $k$th power residue modulo $p$ should be $O(p^{\epsilon})$, for any $\epsilon>0$. Elliott proved that such a prime is at most $p^{\frac{k-1}{4}+\epsilon}$, for each $\epsilon>0$. In this talk we discuss the distribution of prime $k$th power residues modulo $p$ in the range $[1, p]$, with a more emphasis on the subrange $[1,p^{\frac{k-1}{4}+\epsilon}]$ for $\epsilon>0$.

Un théorème classique de Macaulay en Algèbre commutative (1927) caractérise les fonctions de Hilbert des algèbres graduées standard. Ce théorème a des conséquences remarquables en Combinatoire additive, comme cela n’a été observé que tout récemment. L’objet de l’exposé est de montrer deux telles applications, sur la conjecture de Wilf portant sur les semigroupes numériques, et sur la croissance des ensembles sommes itérés dans un groupe abélien.

I will survey what is known about the distribution of the orders of integers mod $p$, as $p$ varies. Particular attention will be paid to problems of the following sort: For fixed $a$ and $b$, how do the order of $a$ mod $p$ and the order of $b$ mod $p$ compare, as $p$ varies? The proofs will draw from the elementary, algebraic, and analytic strands of number theory. (So hopefully something for everyone!)