Nancy-Metz number theory seminar

Les polynômes de Fekete sont certains polynômes de type Littlewood dont les coefficients sont les valeurs du symbole de Legendre, ou plus généralement du symbole de Kronecker. Ces polynômes ont été considérés par Fekete afin d’étudier les zéros réels des fonctions L de Dirichlet, et d’essayer de démontrer la non-existence des fameux zéros de Siegel. Depuis lors, leurs zéros et la répartition de leurs valeurs ont été intensivement étudiés. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents concernant les zéros réels des polynômes de Fekete. Je discuterai également de certaines applications de ces résultats, notamment aux changements de signes des sommes partielles de sommes de caractères quadratiques. Ceci est un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.

Dans un travail en commun avec Michael Kaminski et Igor Shparlinski (arXiv:2110.04657), nous donnons des exemples explicites d’ensembles de $m$ formes linéaires en $n$ variables sur le corps des nombres rationnels, dont le calcul nécessite $m(n-1)$ additions.

On s’intéresse à des sommes exponentielles habituellement indexées par un système de représentants
des entiers inversibles modulo p, ou des inversibles modulo une puissance d’un nombre premier p.
Cependant, au lieu de regarder ces sommes complètes, on les restreint en les indexant seulement
par un sous-groupe d’ordre d fixé. Lorsque p tend vers l’infini en respectant certaines conditions de
congruence qui assurent l’existence d’un unique sous-groupe d’ordre d, on démontre que nos
familles de sommes exponentielles s’équirépartissent dans certaines régions du plan complexe
décrites comme l’image d’un tore par un polynôme de Laurent relativement explicite. Dans un second temps, on montre que l’on peut également restreindre le paramètre indexant la famille de sommes à ne parcourir que de très petits sous-groupes des classes inversibles modulo p, sans affecter le résultat d’équirépartition.

L’objectif est de construire un algorithme de fraction continue complexe trouvant toutes les meilleures approximations diophantiennes d’un nombre complexe. En utilisant la suite des vecteurs minimaux d’un réseau de $\mathbb{C}^2$ sur l’anneau des entiers de Gauss, nous obtenons un algorithme défini sur une sous-variété de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$. La correspondance entre les vecteurs minimaux et les meilleures approximations diophantiennes garantit que notre algorithme atteint son but. Un sous-produit de l’algorithme est la meilleure constante pour la version complexe du théorème de Dirichlet sur les approximations des nombres complexes par les quotients de deux entiers gaussiens.

Une suite est dite pseudo-aléatoire est une suite qui “ressemble” à une suite aléatoire. Ces suites ont de nombreuses applications en cryptographie, en particulier, dans le chiffrement par flot et des dispositifs de registre à décalage à rétroaction linéaire. Pour évaluer ce caractère, il faut faire appel à plusieurs notions mathématiques telles que la corrélation, la complexité linéaire et bien d’autres mesures de complexité et répartition. Alors pour tenter de créer des suites pseudo-aléatoires, on peut prendre des exemples issus de la théorie des nombres comme la suite des valeurs du symbole de Legendre pour un grand nombre premier.

L’objectif de cette journée est d’expliciter différentes relations qui existent entre la cryptographie et la théorie des nombres et de mettre en évidence leur lien avec des suites pseudo-aléatoires.

Cette journée scientifique est organisée dans le cadre institutionnel de la Fédération Charles Hermite et avec le soutien de LUE-Digitrust et l’ANR ArithRand.

Programme de la journée

Organisateurs locaux:

Cécile Dartyge (IECL), Damien Jamet (LORIA), Pierre Popoli (IECL) et Thomas Stoll (IECL)

Erdős proved that there are infinitely many weakly prime numbers (also called (digitally) delicate primes), i.e. prime numbers such that changing any single one of the digits, in a given base, with any other digit always results in a composite number. Tao proved that weakly prime numbers constitute a positive proportion in all prime numbers. In this talk, we are going to discuss further quantitative refinements on the distribution of weakly prime numbers.

Dans cet exposé, on va s’intéresser aux informations qu’on peut donner sur les zéros d’un polynôme $P$ à coefficients complexes connaissant sa mesure de Mahler $M(P)$. Ces informations concerneront notamment la localisation des zéros, leur distance à certains points du cercle unité, le nombre de zéros réels.

On donnera également des résultats de minoration relatifs à la mesure de Mahler. Au fil de l’exposé, on revisitera ainsi des résultats classiques relatifs aux polynômes de $\mathbb{Z}[X]$, qu’on généralisera aux polynômes à coefficients complexes.

Par exemple, un théorème de A. Schinzel montre que tout polynôme $P$ de $\mathbb{Z}[X]$, totalement réel, de degré $d$, vérifiant $P(-1)P(1)\not=0$, $\vert P(0)\vert=1$, est tel que
\[M(P)\ge \Big(\frac{1+\sqrt 5}{2}\Big)^\frac{d}{2}.\]
Nous montrons que si un polynôme $P$ de $\mathbb{C}[X]$ possède $m\geq 1$ racines réelles et satisfait $P(-1)P(0)P(1) \neq 0$, alors
\[M(P)\ge \Bigg(\frac{\vert P(1)P(-1)\vert^{\frac{1}{m}}+\left(4^{\frac{d}{m}}\vert P(0)\vert^{\frac{2}{m}}+\vert P(1)P(-1)\vert^{\frac{2}{m}}\right)^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{d}{m}}}\Bigg)^{\frac{m}{2}}.\]

Séminaire commun avec l’équipe PS

One of the seemingly innocent reformulations of the terrifying Riemann Hypothesis (RH) is the Nyman-Beurling criterion: The indicator function of (0,1) can be linearly approximated in a L^2 space by dilations of the fractional part function. Randomizing these dilations generates new structures and criteria for RH, regularizing very intricate ones. One other possible nice feature is to consider polynomials instead of Dirichlet polynomials for the approximations. How then are the huge difficulties reallocated? The answers are quite surprising!

The talk will be very accessible, especially for graduate students.
Joint work with F. Alouges and E. Hillion.

Soit $b\geq2$ un entier et $\mathcal{N}_b=\{0,1,\ldots,b-1\}$ l’ensemble des chiffres associé. Tout nombre réel $x\in[0,1]$ admet une représentation de la forme \[x=\sum_{k\geq1} a_kb^{-k}=0.a_1a_2a_3\ldots,\] avec $a_k\in\mathcal{N}_b$. Le nombre $x$ est dit normal en base $b$ si pour tout entier $\ell\geq1$ toute suite $d_1\ldots d_\ell$ de longueur $\ell$ d’éléments de $\mathcal{N}_b$ a la même fréquence d’apparitions $b^{-\ell}$, i.e. \[\lim_{n\to\infty}\frac1n \#\left\{0\leq k< n\colon a_{k+1}=d_1,\ldots,a_{k+\ell}=d_\ell\right\} =b^{-\ell}. \]

Michel Mendés France a demandé s’il existe un nombre réel $x$ tel que $x$ et $1/x$ soient normaux en base $2$. Dans cet exposé nous allons construire un tel nombre et montrer qu’il est calculable. En particulier, nous allons montrer que $x$ et $1/x$ sont normaux en toute base $b\geq2$ et également normaux par rapport à l’écriture en fraction continue.

Il s’agit d’un travail en commun avec Verónica Becher de l’Université de Buenos Aires.