Nancy-Metz number theory seminar

Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que si $\mathcal{A}$ est un ensemble dénombrable de réels $>1$, tel que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{\log x}\sum _{\alpha \le x,\alpha \in \mathcal{A}}\frac{1}{\alpha }>0$, alors pour tout $\epsilon >0$, il existe une infinité de triplets $(\alpha ,\beta ,n)\in {\mathcal{A}}^2\times \mathbb{N}$ tels que $\alpha \ne \beta$ et $|n\alpha -\beta |<\epsilon .$ Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne.

Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.

En se laissant guider par l’exemple des ensembles de Sidon (ensembles de nombres dont les sommes de deux éléments sont uniques, très étudiés en combinatoire additive), je présenterai des résultats récents, en collaboration avec R. Riblet, où des techniques de théorie des ensembles permettent de construire des ensembles “grands” en certains sens (cardinalité, mesure ou dimension) tout en étant “épars” car évitant des configurations prescrites (pas de relation linéaire, ou ne contenant pas de parallélogramme, etc.). Des questions subtiles en lien avec l’axiome du choix seront évoquées.

Dans cet exposé, on va s’intéresser aux informations qu’on peut donner sur les zéros d’un polynôme $P$ à coefficients complexes connaissant sa mesure de Mahler $M(P)$. Ces informations concerneront notamment la localisation des zéros, leur distance à certains points du cercle unité, le nombre de zéros réels.

On donnera également des résultats de minoration relatifs à la mesure de Mahler. Au fil de l’exposé, on revisitera ainsi des résultats classiques relatifs aux polynômes de $\mathbb{Z}[X]$, qu’on généralisera aux polynômes à coefficients complexes.

Par exemple, un théorème de A. Schinzel montre que tout polynôme $P$ de $\mathbb{Z}[X]$, totalement réel, de degré $d$, vérifiant $P(-1)P(1)\ne 0$, $|P(0)|=1$, est tel que
$$M(P)\ge (\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^{\frac{d}{2}}.$$
Nous montrons que si un polynôme $P$ de $\mathbb{C}[X]$ possède $m\ge 1$ racines réelles et satisfait $P(-1)P(0)P(1)\ne 0$, alors
$$M(P)\ge (\frac{|P(1)P(-1){|}^{\frac{1}{m}}+{(4^{\frac{d}{m}}|P(0){|}^{\frac{2}{m}}+|P(1)P(-1){|}^{\frac{2}{m}})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{d}{m}}}{)}^{\frac{m}{2}}.$$

Séminaire commun avec l’équipe PS

One of the seemingly innocent reformulations of the terrifying Riemann Hypothesis (RH) is the Nyman-Beurling criterion: The indicator function of (0,1) can be linearly approximated in a L^2 space by dilations of the fractional part function. Randomizing these dilations generates new structures and criteria for RH, regularizing very intricate ones. One other possible nice feature is to consider polynomials instead of Dirichlet polynomials for the approximations. How then are the huge difficulties reallocated? The answers are quite surprising!

The talk will be very accessible, especially for graduate students.
Joint work with F. Alouges and E. Hillion.

Soit $b\ge 2$ un entier et ${\mathcal{N}}_b=\{0,1,\dots ,b-1\}$ l’ensemble des chiffres associé. Tout nombre réel $x\in [0,1]$ admet une représentation de la forme $$x=\sum _{k\ge 1}{a}_k{b}^{-k}=0.a_1{a}_2{a}_3\dots ,$$ avec $a_k\in {\mathcal{N}}_b$. Le nombre $x$ est dit normal en base $b$ si pour tout entier $\ell \ge 1$ toute suite $d_1\dots d_{\ell }$ de longueur $\ell$ d’éléments de ${\mathcal{N}}_b$ a la même fréquence d’apparitions $b^{-\ell }$, i.e. $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\mathrm{\#}\{0\le k<n:a_{k+1}=d_1,\dots ,a_{k+\ell }=d_{\ell }\}=b^{-\ell }.$$

Michel Mendés France a demandé s’il existe un nombre réel $x$ tel que $x$ et $1/x$ soient normaux en base $2$. Dans cet exposé nous allons construire un tel nombre et montrer qu’il est calculable. En particulier, nous allons montrer que $x$ et $1/x$ sont normaux en toute base $b\ge 2$ et également normaux par rapport à l’écriture en fraction continue.

Il s’agit d’un travail en commun avec Verónica Becher de l’Université de Buenos Aires.

Un ensemble de Sidon d’un semi-groupe est un ensemble dont toutes les sommes de deux éléments sont distinctes. Des travaux de Bose, Chowla et Erdős établissent que le cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans un intervalle d’entiers de cardinal $n$ est équivalent à $\sqrt{n}$. Nous nous intéresserons au cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans l’union (de cardinal $n$) de deux intervalles. Un résultat d’Abbott affirme qu’il est supérieur à $0,0805\sqrt{n}$. Nous améliorerons cette borne et prouverons que ce cardinal est en fait supérieur à $0,8444\sqrt{n}$. Nous parlerons également d’autres résultats à propos des ensembles de Sidon et d’une de leurs généralisations : les ensembles $B_2[g]$.

Soient $\theta$ et $\rho$ des nombres réels avec $0\le \theta ,\rho <1$ et $\theta$ irrationnel. Pour $n\ge 1$, posons $$s_n:=s_n(\theta ,\rho )=\lfloor n\theta +\rho \rfloor –\lfloor (n-1)\theta +\rho \rfloor$$ Alors, le mot infini $${\mathbf{s}}_{\theta ,\rho }:=s_1{s}_2{s}_3\dots$$ est le mot sturmien (inférieur) de pente $\theta$ et d’intercept $\rho$, écrit sur l’alphabet $\{0,1\}$. Nous explicitons le développement en fraction continue du nombre réel $${\xi }_{b,\theta ,\rho }=(b-1)\sum _{n\ge 1}\frac{s_n(\theta ,\rho )}{b^n}.$$ Cela nous permet d’obtenir une formule donnant son exposant d’irrationalité en fonction de $\theta$ et du développement d’Ostrowski de $\rho$ en base $\theta$. Nous étendons ainsi un résultat classique de Böhmer (1927) qui ne couvre que le cas où $\rho =\theta$ et contient par exemple la surprenante égalité $$\sum _{j\ge 1}\frac{1}{2^{\lfloor j\gamma \rfloor }}=[0;1,2,2,2^2,2^3,2^5,2^8,2^{13},2^{21},\dots ],\gamma =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$ Il s’agit d’un travail en commun avec Michel Laurent.

Soit $O_K$ l’anneau d’entiers algébriques d’un corps de nombres. Pour $a\in O_K\setminus \{0\}$ soit $N(a)$ la norme absolue de $a$, et $M=\{N(a):a\in O_K\setminus \{0\}\}$. Il est bien connu que $M$ est un sous-semi-groupe multiplicatif de ${\mathbb{N}}^{\ast }$. Nous essayons de comprendre l’arithmétique de ces semi-groupes. Cela nous amène à étudier des suites à somme nulle pondérée sur des groupes abéliens finis.

Travaux en commun avec Safia Boukheche, Kamil Merito et Oscar Ordaz.

Let $p$ be a prime number. For each positive integer $k\ge 2$, it is widely believed that the smallest prime that is a $k$th power residue modulo $p$ should be $O(p^{ϵ})$, for any $ϵ>0$. Elliott proved that such a prime is at most $p^{\frac{k-1}{4}+ϵ}$, for each $ϵ>0$. In this talk we discuss the distribution of prime $k$th power residues modulo $p$ in the range $[1,p]$, with a more emphasis on the subrange $[1,p^{\frac{k-1}{4}+ϵ}]$ for $ϵ>0$.

Un théorème classique de Macaulay en Algèbre commutative (1927) caractérise les fonctions de Hilbert des algèbres graduées standard. Ce théorème a des conséquences remarquables en Combinatoire additive, comme cela n’a été observé que tout récemment. L’objet de l’exposé est de montrer deux telles applications, sur la conjecture de Wilf portant sur les semigroupes numériques, et sur la croissance des ensembles sommes itérés dans un groupe abélien.

I will survey what is known about the distribution of the orders of integers mod $p$, as $p$ varies. Particular attention will be paid to problems of the following sort: For fixed $a$ and $b$, how do the order of $a$ mod $p$ and the order of $b$ mod $p$ compare, as $p$ varies? The proofs will draw from the elementary, algebraic, and analytic strands of number theory. (So hopefully something for everyone!)