Probabilities and Statistic working group

Réunion d’équipe possible

Deuxième de deux séances.

Un modèle classique de polytope aléatoire proposé par Renyi et Sulanke dans les années 60 consiste à fixer un corps convexe K de R^d, à y choisir n points aléatoires indépendants et uniformément distribués, et à en prendre l’enveloppe convexe K(n). L’asymptotique, pour d fixé et n tendant vers l’infini, du volume de K(n) a été reliée à l’analyse des corps flottants de K par Bárány et Larman dans les années 80. Certaines idées derrière ce lien ont été généralisées dans le “théorème de l’epsilon-net” prouvé par Haussler et Welzl au début des années 90.

Je donnerai une introduction à ces notions, avec l’idée d’aborder lors d’une éventuelle seconde séance, un travail commun avec Imre Bárány, Matthieu Fradelizi, Alfredo Hubard et Günter Rote sur la généralisation du lien polytope aléatoire/corps flottant au cas où la mesure uniforme sur K est remplacée par une mesure plus générale (https://doi.org/10.5802/ahl.44).

What happens if we want to study the convergence of discontinuous real-valued stochastic processes, which is often the case for modelling purposes? For example, think of tracking the evolution of the population size of living species, where deaths are instantaneous negative jumps… In 1956, Skorokhod proposed a topology on the space of discontinuous functions, which is predominant today. The aim of this talk is to explain the simple and intuitive ideas underlying the construction of Skorokhod to facilitate its understanding, without going in the depth of technical proofs. If we have time, we will introduce measure-valued processes, with biological motivations, and explain how the Skorokhod construction can be generalized to more complex spaces such as these measure spaces.

Even if the present talk is self-contained, it can be seen as an introduction to the GdT of May, 22. I will also present my work about measure-valued processes during the GdT SIMBA of April, 24 (14h, Salle de Conférences). You are warmly welcome to attend one of these to discover some of my PhD research!

First, we introduce c`adl`ag measure-valued processes, with biological motivations. We focus on the
construction with Poisson point measures and the useful martingale properties it entails. Then, we
present a general convergence result for these measure-valued processes. We insist on the topological
difficulties encountered, related to Skorokhod spaces. Thus, even if it is self-contained, this talk can
be seen as a natural continuation of the GdT of May, 15.
Note that I also present this work during the GdT SIMBA on April, 24 (14h, Salle de Conf´erences),
with a focus on the new results we obtain compared to the existing literature. This is joint work with
Nicolas Champagnat and Coralie Fritsch

La combinatoire analytique est une théorie développée par Philippe Flajolet et son école, dont l’idée centrale est d’obtenir des propriétés de familles d’objets discrets en étudiant leurs séries génératrices vues comme des fonctions d’une variable complexe. Il s’agit le plus souvent d’obtenir l’énumération asymptotique de la famille considérée. En considérant des séries génératrices bivariées, on peut aussi obtenir des informations sur le comportement limite de statistiques sur les objets considérés.
Dans cet exposé, j’essaierai de faire un panorama des théorèmes principaux de la combinatoire analytique, illustré de quelques exemples, et en donnant quelques éléments de preuve. Une partie de l’exposé est préparatoire à la séance 2, où l’on utilisera l’énumération asymptotique d’une certaine famille d’arbres dans la preuve de la limite en graphon des cographes.

à venir

Le modèle statistique qui relie des expériences physiques à un simulateur contient souvent une fonction de discrépance. La fonction de discrépance permet de modéliser l’écart systématique entre le simulateur et le phénomène réel. Étudier la fonction de discrépance aide à comprendre à quel point le simulateur est fiable. En particulier, déterminer que certaines variables d’entrées sont actives ou inertes dans la fonction de discrépance comporte un intérêt majeur puisque cela indique quelles variables sont correctement modélisées ou non par le simulateur. Ainsi, cela permettrait d’avoir des informations afin d’améliorer le simulateur et aiderait à décider si l’extrapolation dans certaines directions est risquée ou non. La fonction de discrépance est modélisée comme un processus gaussien paramétré comme dans l’article de Linkletter et al. (2006). Cette paramétrisation a pour intérêt d’avoir une distinction simple entre une variable active et une variable inerte. La procédure de sélection de variables repose sur une méthode de sélection de modèles où les modèles en compétition diffèrent sur les distributions a priori choisies pour les paramètres liés aux variables d’entrées. Nous nous appuyons sur le facteur de Bayes calculé efficacement par une procédure de “Bridge Sampling” pour effectuer la sélection de modèle. Des exemples artificiels sont utilisés pour faire la preuve de l’efficacité de la méthode et celle-ci sera appliquée à un simulateur permettant de prévoir la production d’énergie photovoltaïque. Travail en collaboration avec Anabel Forte et Rui Paulo.

En théorie des probabilités, divers processus ponctuels — dont, par exemple, l’ensemble des valeurs propres de l’« ensemble gaussien unitaire » (GUE) — sont dits « déterminantaux », c’est à  dire qu’ils vérifient la propriété suivante : pour x1, …, xn des points, la probabilité que le processus charge simultanément tous ces points est de la forme « det ⸨K(xi, xj)⸩i,j » — o๠le noyau K a parfois une forme particulièrement alambiquée, même pour des processus assez simples… Si vous avez déjà  rencontré cette définition au détour d’une conférence, elle vous aura sans doute semblé fort mystérieuse : pourquoi avoir introduit cette notion de processus déterminantal ; d’o๠vient que certains processus naturels se mettent sous cette forme ; en quoi cette définition est-elle susceptible de donner des propriétés intéressantes ; … ?

J’apporterai quelques éléments de réponse à  ces questions en m’appuyant sur l’article fondateur du concept de processus déterminantal [Benard & Macchi 1973], article qui traitait de… physique quantique ! En effet, il s’avère que les processus déterminantaux sont essentiellement ceux qui décrivent les positions d’un type de particules quantiques appelées fermions, dont l’état vit dans la partie antisymétrique d’une puissance tensorielle d’espace hilbertien (!).

Bien entendu, toutes ces notions seront expliquées au cours de l’exposé, dont la présentation sera orientée selon un angle aussi mathématique que possible. à€ noter que du point de vue technique, il y aura finalement assez peu de probabilités dans ce que je vais raconter (car ici on se contentera de justifier l’intérêt d’étudier les processus déterminantaux : or les probabilités interviennent surtout ensuite, lors de l’étude à  proprement parler) ; par contre, préparez-vous à  subir une bonne dose d’analyse hilbertienne complexe…!

Cette seconde partie se basera sur le preprint “Convergence to quasi-stationarity through Poincaré inequalities and Bakry-Emery criteria”. Il y sera démontré que l’on peut obtenir de la quasi-ergodicité (i.e. convergence de lois marginales de processus conditionnée à  la non-absorption) à  vitesse exponentielle au moyen d’un processus auxiliaire, appelé Q-processus, satisfaisant une inégalité de Poincaré ou une condition de Bakry-Emery. Lorsque le processus absorbé est une diffusion de Kolmogorov, le Q-processus l’est aussi, ce qui permet dans ce cas précis d’énoncer des critères intéressants sur le potentiel pour l’estimation du taux de convergence.

Cette première partie s’intéressera à  l’utilisation d’inégalités fonctionnelles visant à  obtenir une vitesse de convergence d’un processus de Markov vers une mesure invariante. Plus précisément, nous parlerons de l’inégalité de Poincaré et démontrerons, entre autre, qu’elle implique une convergence exponentielle en divergence du $chi_2$ et en variation totale. Puis nous évoquerons la condition courbure-dimension de Bakry-Emery et montrerons qu’elle implique une inégalité de Poincaré. Si le temps le permet, nous parlerons aussi de l’inégalité de Sobolev logarithmique.

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the “Brownian separable permuton” (BSP) and the “Baxter permuton” (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the “Brownian separable permuton” (BSP) and the “Baxter permuton” (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.

We introduce Evolving Systems of Stochastic Differential Equations.

This model generalises the well-known stochastic differential equations

with markovian switching, enabling the countably-many local

systems to have solutions in regime-dependent dimension. We provide

two constructions, the first one based upon general results on measure-valued

processes, and the second one partially inspired by recent developments

of the theory of concatenation of right processes. We prove the Feller

property under very mild assumptions and discuss ongoing research