Probabilities and Statistic working group

Réunion d’équipe possible

Deuxième de deux séances.

Un modèle classique de polytope aléatoire proposé par Renyi et Sulanke dans les années 60 consiste à fixer un corps convexe K de R^d, à y choisir n points aléatoires indépendants et uniformément distribués, et à en prendre l’enveloppe convexe K(n). L’asymptotique, pour d fixé et n tendant vers l’infini, du volume de K(n) a été reliée à l’analyse des corps flottants de K par Bárány et Larman dans les années 80. Certaines idées derrière ce lien ont été généralisées dans le “théorème de l’epsilon-net” prouvé par Haussler et Welzl au début des années 90.

Je donnerai une introduction à ces notions, avec l’idée d’aborder lors d’une éventuelle seconde séance, un travail commun avec Imre Bárány, Matthieu Fradelizi, Alfredo Hubard et Günter Rote sur la généralisation du lien polytope aléatoire/corps flottant au cas où la mesure uniforme sur K est remplacée par une mesure plus générale (https://doi.org/10.5802/ahl.44).

What happens if we want to study the convergence of discontinuous real-valued stochastic processes, which is often the case for modelling purposes? For example, think of tracking the evolution of the population size of living species, where deaths are instantaneous negative jumps… In 1956, Skorokhod proposed a topology on the space of discontinuous functions, which is predominant today. The aim of this talk is to explain the simple and intuitive ideas underlying the construction of Skorokhod to facilitate its understanding, without going in the depth of technical proofs. If we have time, we will introduce measure-valued processes, with biological motivations, and explain how the Skorokhod construction can be generalized to more complex spaces such as these measure spaces.

Even if the present talk is self-contained, it can be seen as an introduction to the GdT of May, 22. I will also present my work about measure-valued processes during the GdT SIMBA of April, 24 (14h, Salle de Conférences). You are warmly welcome to attend one of these to discover some of my PhD research!

First, we introduce c`adl`ag measure-valued processes, with biological motivations. We focus on the
construction with Poisson point measures and the useful martingale properties it entails. Then, we
present a general convergence result for these measure-valued processes. We insist on the topological
difficulties encountered, related to Skorokhod spaces. Thus, even if it is self-contained, this talk can
be seen as a natural continuation of the GdT of May, 15.
Note that I also present this work during the GdT SIMBA on April, 24 (14h, Salle de Conf´erences),
with a focus on the new results we obtain compared to the existing literature. This is joint work with
Nicolas Champagnat and Coralie Fritsch

Un modèle classique de polytope aléatoire proposé par Renyi et Sulanke dans les années 60 consiste à fixer un corps convexe K de R^d, à y choisir n points aléatoires indépendants et uniformément distribués, et à en prendre l’enveloppe convexe K(n). L’asymptotique, pour d fixé et n tendant vers l’infini, du volume de K(n) a été reliée à l’analyse des corps flottants de K par Bárány et Larman dans les années 80. Certaines idées derrière ce lien ont été généralisées dans le “théorème de l’epsilon-net” prouvé par Haussler et Welzl au début des années 90.

Je donnerai une introduction à ces notions, avec l’idée d’aborder lors d’une éventuelle seconde séance, un travail commun avec Imre Bárány, Matthieu Fradelizi, Alfredo Hubard et Günter Rote sur la généralisation du lien polytope aléatoire/corps flottant au cas où la mesure uniforme sur K est remplacée par une mesure plus générale (https://doi.org/10.5802/ahl.44).

Première de deux séances par le même orateur. La deuxième séance, qui devait avoir lieu la semaine prochaine, est anticipé à une date de la même semaine: possiblement le mercredi 2 avril. On fixera un creneaux pendant ce premier groupe de travail.

Nous présenterons un test de rapport de vraisemblance pour détecter la présence d’une rupture faible dans la moyenne conditionnelle d’une classe de modèles CHARN.
Nous présenterons notre étude du comportement asymptotique de la statistique de test sous l’hypothèse nulle d’absence de rupture, et sous une suite d’alternatives locales de présence d’une rupture de faible amplitude.
Enfin, nous présenterons les résultats des simulations numériques que nous avons effectuées pour illustrer nos résultats théoriques.

L’orateur du seminaire donnera un exposé introductif sur les processus ponctuels de Gibbs avec interaction sommable (même à portée finie) basé sur le minicours https://arxiv.org/abs/1701.08105 

The Gibbs point processes (GPP) constitute a large class of point processes with interaction between the points. The interaction can be attractive, repulsive, depending on geometrical features whereas the null interaction is associated to the so-called Poisson point process. In a first part, we present several aspects of finite volume GPP defined on a bounded window in Rd. In a second part, we introduce the more complicated formalism of infinite volume GPP defined on the full space Rd. Existence, uniqueness and non-uniqueness of GPP are non-trivial questions which we will discuss in the talk. The DLR equations, the GNZ equations will be presented as well.

Il est bien connu qu’une chaîne de Markov finie apériodique irréductible converge vers sa distribution stationnaire. Mais à quelle vitesse ? Il s’agit là souvent d’une question difficile. Dans cet exposé je présenterai une famille de chaînes de Markov, appelées chaînes montantes-descendantes, pour lesquelles on peut calculer de manière exacte la distance (au sens de la distance de séparation) entre la chaîne de Markov et sa distribution stationnaire. Un exemple dans le monde des permutations sera présenté et étudié plus spécifiquement.

Je présenterai un travail au long cours, en collaboration avec des collègues de l’ESPCI (Ecole supérieure de physique et chimie industrielle), concernant l’étude des réseaux chimiques complexes, qui est notamment motivé par des thématiques biologiques autour des origines de la vie. Je montrerai en particulier comment le problème peut se ramener à l’étude de perturbations de générateurs de chaînes de Markov en temps continu présentant de nombreuses échelles de temps, et introduirai une méthode multi-échelles permettant d’estimer l’exposant de Lyapunov (plus grande valeur propre) et le vecteur propre associé.

Deux seances consecutives: 10 et 17 octobre

Je présenterai un travail au long cours, en collaboration avec des collègues de l’ESPCI (Ecole supérieure de physique et chimie industrielle), concernant l’étude des réseaux chimiques complexes, qui est notamment motivé par des thématiques biologiques autour des origines de la vie. Je montrerai en particulier comment le problème peut se ramener à l’étude de perturbations de générateurs de chaînes de Markov en temps continu présentant de nombreuses échelles de temps, et introduirai une méthode multi-échelles permettant d’estimer l’exposant de Lyapunov (plus grande valeur propre) et le vecteur propre associé.

Deux seances consecutives: 10 et 17 octobre