Probabilities and Statistic working group

Date possible pour le colloquinte

Dans cet exposé je décrirai une structure (formellement) Riemanniene du
transport optimal, originellement introduite par Felix Otto. Ce point de
vue permet d’identifier certains processus de diffusion comme des flots
gradients dans l’espace métriques des mesures de probabilité muni de la
distance de Wasserstein $(mathcal P(mathbb R^d),W_2)$.
Ce cadre Riemannien permet de faire un lien très naturel entre
l’approche Bakry-Émery et les inégalités fonctionnelles
d’Entropy-Entropy production d’une part, et d’autre part la convexité
géodésique au sens de McCann. Ce point de vue permet d’obtenir
facilement des résultats de convergence en temps long.
Si le temps le permet je parlerai enfin d’une généralisation au cadre du
transport optimal non-conservatif, que j’ai introduit récemment avec mes
collaborateurs (et simultanément avec deux autres équipes de façon
indépendante) et qui permet d’étendre la structure Riemannienne aux
mesures de Radon de masse arbitraire.

On commencera par présenter deux exemples classiques d’entrelacement markovien :
le théorème de Pitman sur la relation entre le mouvement brownien unidimensionel et le processus de Bessel de dimension 3
et l’estimation par Aldous et Diaconis de la convergence à  l’équilibre de mélanges de cartes via des temps forts de stationarité.
Puis on rappellera comment plonger ces exemples historiques dans un cadre unifié, grâce à  la théorie de la dualité due à  Diaconis et Fill.
Enfin on étendra partiellement ces résultats en direction des diffusions elliptiques sur des variétés, pour retrouver des théorèmes de densité,
à  travers des modifications stochastiques des flots de courbure moyenne.
Avec l’espoir que ceci conduira (dans un futur assez lointain …) à  une nouvelle approche probabiliste du théorème de Hörmander.

Le sujet de cet exposé est d’étudier l’équation de McKean-Vlasov au travers de trois limites. La première est la limite champ moyen qui stipule que le modèle de McKean-Vlasov est une bonne approximation d’un système de particules en interaction de type champ moyen quand le nombre de particules tend vers l’infini. La deuxième consiste à  regarder le comportement de la loi du processus lorsque le temps tend vers l’infini. En particulier, on cherche à  obtenir une convergence vers la (une des) probabilité(s) invariante(s). Enfin, la troisième limite concerne le temps de sortie lorsque le coefficient de diffusion est asymptotiquement petit. On rappellera les résultats classiques (ou pas) lorsque le potentiel de confinement et le potentiel d’interaction sont tous les deux convexes. Puis, on présentera le cas o๠le potentiel de confinement n’est pas convexe.

Je reviendrai sur la question générale de l’approche trajectorielle (pathwise) des systèmes différentiels stochastiques (équation standard, EDP), à  travers l’évocation de quelques unes des constructions qui lui sont liées : intégrale de Young, théorie des rough paths, regularity structures. Aucun prérequis ne sera nécessaire.

Cet expose donne une definition des processus ponctuels et presente quelques resultats. Parmi eux la formule de Campbell-Mecke, le theoreme de Slivniak-Mecke. Si le temps le permet les distributions de Palm reduites, ainsi que le theoreme de Georgii-Nguyen-Zessin vont etre presentes. Tous ces resultats sont a la base des nombreuses applications en statistique spatialisee.

Résumé

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