Probabilities and Statistic working group

L’orateur du seminaire donnera un expose’ introductif.

Première de deux séances par le même orateur.

Deuxième de deux séances par le même orateur.

L’orateur presentera un article de titre ”Random polytopes and the wet part for arbitrary probability distributions”

Quadratic harnesses (QH) are Markov processes with linear
conditional expectations and quadratic conditional variances given the
natural past-future filtration. They are governed by 5 numerical
constants hidden in coefficients of conditional variances. A large
family of QH processes can be identified through Askey-Wilson (AW)
processes, which are Markov processes with transition and marginal laws
defined in terms of orthogonality measures of the celebrated system of
the Askey-Wilson polynomials. We proved in 2017 (joint paper with W.
Bryc) that the generating function for the stationary distribution of
the ASEP (asymmetric simple exclusion process) with open boundaries can
be represented through moments of QH (and AW) processes. I.Corwin and
A.Knizel (2021) used this representation for ASEPs of growing size with
a suitable asymptotic regime to find the Laplace transform of the
stationary measure of the open Kardar-Parisi-Zhang (KPZ_) equation on
the interval. Recently (joint paper with W. Bryc, A. Kuznetsov, Y. Wang)
we “inverted” this Laplace transform and thus identified directly the
solution of the open KPZ in terms of a Doob h-transform of the Brownian
motion killed at an exponential rate.

The bisexual Galton-Watson process [Daley, ‘68] is an extension of the classical Galton-Watson process, but taking into account the mating of females and males, which form couples that can accomplish reproduction. Properties such as extinction conditions and asymptotic behavior have been studied in the past years, but multi-type versions have only been treated in some particular cases.

In this work we deal with a general multi-dimensional version of Daley’s model, where we consider different types of females and males, which mate according to a ‘’mating function’’. We consider that this function is superadditive, which in simple words implies that two groups of females and males will form a larger number of couples together rather than separate.

One of the main difficulties in the study of this process is the absence of a linear operator that is the key to understand its behavior in the asexual case, but in our case it turns out to be only concave. To overcome this issue, we use a concave Perron-Frobenius theory [Krause ’94] which ensures the existence of eigen-elements for some concave operators. Using this tool, we find a necessary and sufficient condition for almost sure extinction as well as a law of large numbers. Finally, we study the convergence of the process in the long-time through the identification of a supermartingale.
This is a joint work with Coralie Fritsch and Denis Villemonais.

Je présenterai un modèle de percolation en une dimension introduit par Curien, Kozma, Sidoravicius et Tournier en 2017, la “nouille infinie”. Bien que le modèle soit unidimensionnel et très simple à définir (en utilisant des appariements non croises), la question de l’existence d’une composante infinie est ouverte. Je définirai ce modèle, expliquerai ce qui est connu et conjecturé, puis comment, lors d’un travail en cours avec Paul Thévenin (Uppsala), on est arrivés à regarder la taille de la composante de 0 dans ce modèle de percolation pour répondre à une question de Goulden, Nica et Puder sur le nombre de composantes d’un système méandrique.

Julia est un nouveau langage de programmation pour le calcul scientifique et les mathématiques. Son développement a commencé en 2009, dans le laboratoire Lincoln du MIT.

On retrouve dans ce langage de haut niveau les facilités classiques des langages couramment utilisés en calcul scientifique, avec en plus une rapidité d’exécution comparable
au C, tirant partie de la technologie de compilation Just In Time. Ainsi, le langage permet d’avoir un temps d’écriture rapide tout en préservant la vitesse d’exécution.

Depuis son lancement public en 2012, le langage Julia a rassemblé une large communauté. La sortie de la version 1.0 en août 2018 marque la maturité du langage, qui bénéficie aujourd’hui d’un écosystème complet: large collection de bibliothèques en ligne, environnement intégré de qualité, débogueur et profileur.

Le but de cet exposé est de présenter les fondements du langage ainsi que quelques exemples dans des domaines divers des mathématiques, avec une présentation succincte de quelques bibliothèques utiles.

L’exposé sera délibérément très généraliste, car je suis convaincu que les qualités du langage (syntaxe naturelle, rapidité d’exécution, création simple d’objets mathématiques,sans être un pro de la POO), en font un excellent candidat pour être le couteau suisse du mathématicien.

Étant donnée une famille de graphes, une question naturelle (qui constitue un pan de la littérature en graphes aléatoires) est de décrire la forme limite d’un graphe pris uniformément au hasard dans cette famille. On étudiera cette question pour la famille des cographes, et on décrira leur limite (appelée le “cographon Brownien”) dans le formalisme des graphons.
Dans l’exposé, je ne supposerai aucune connaissance préalable des cographes ni des graphons. J’en présenterai d’abord les définitions et quelques propriétés clés, notamment le codage des cographes par des “cotrees”. Je décrirai les étapes principales de la preuve de la limite en graphon dans le cas des cographes étiquetés. Cette preuve utilise surtout de la combinatoire analytique sur les “cotrees” (un des exemples présentés en séance 1).
Si le temps le permet, je mentionnerai plusieurs résultats associés, notamment la limite en graphon des cographes non-étiquetés, et des résultats parallèles dans le monde des permutations qui suggèrent une universalité du cographon Brownien.

Travail en commun avec F. Bassino, V. Feray, L. Gerin, M. Maazoun, A. Pierrot.

La combinatoire analytique est une théorie développée par Philippe Flajolet et son école, dont l’idée centrale est d’obtenir des propriétés de familles d’objets discrets en étudiant leurs séries génératrices vues comme des fonctions d’une variable complexe. Il s’agit le plus souvent d’obtenir l’énumération asymptotique de la famille considérée. En considérant des séries génératrices bivariées, on peut aussi obtenir des informations sur le comportement limite de statistiques sur les objets considérés.
Dans cet exposé, j’essaierai de faire un panorama des théorèmes principaux de la combinatoire analytique, illustré de quelques exemples, et en donnant quelques éléments de preuve. Une partie de l’exposé est préparatoire à la séance 2, où l’on utilisera l’énumération asymptotique d’une certaine famille d’arbres dans la preuve de la limite en graphon des cographes.

à venir

Le modèle statistique qui relie des expériences physiques à un simulateur contient souvent une fonction de discrépance. La fonction de discrépance permet de modéliser l’écart systématique entre le simulateur et le phénomène réel. Étudier la fonction de discrépance aide à comprendre à quel point le simulateur est fiable. En particulier, déterminer que certaines variables d’entrées sont actives ou inertes dans la fonction de discrépance comporte un intérêt majeur puisque cela indique quelles variables sont correctement modélisées ou non par le simulateur. Ainsi, cela permettrait d’avoir des informations afin d’améliorer le simulateur et aiderait à décider si l’extrapolation dans certaines directions est risquée ou non. La fonction de discrépance est modélisée comme un processus gaussien paramétré comme dans l’article de Linkletter et al. (2006). Cette paramétrisation a pour intérêt d’avoir une distinction simple entre une variable active et une variable inerte. La procédure de sélection de variables repose sur une méthode de sélection de modèles où les modèles en compétition diffèrent sur les distributions a priori choisies pour les paramètres liés aux variables d’entrées. Nous nous appuyons sur le facteur de Bayes calculé efficacement par une procédure de “Bridge Sampling” pour effectuer la sélection de modèle. Des exemples artificiels sont utilisés pour faire la preuve de l’efficacité de la méthode et celle-ci sera appliquée à un simulateur permettant de prévoir la production d’énergie photovoltaïque. Travail en collaboration avec Anabel Forte et Rui Paulo.

En théorie des probabilités, divers processus ponctuels — dont, par exemple, l’ensemble des valeurs propres de l’« ensemble gaussien unitaire » (GUE) — sont dits « déterminantaux », c’est à  dire qu’ils vérifient la propriété suivante : pour x1, …, xn des points, la probabilité que le processus charge simultanément tous ces points est de la forme « det ⸨K(xi, xj)⸩i,j » — o๠le noyau K a parfois une forme particulièrement alambiquée, même pour des processus assez simples… Si vous avez déjà  rencontré cette définition au détour d’une conférence, elle vous aura sans doute semblé fort mystérieuse : pourquoi avoir introduit cette notion de processus déterminantal ; d’o๠vient que certains processus naturels se mettent sous cette forme ; en quoi cette définition est-elle susceptible de donner des propriétés intéressantes ; … ?

J’apporterai quelques éléments de réponse à  ces questions en m’appuyant sur l’article fondateur du concept de processus déterminantal [Benard & Macchi 1973], article qui traitait de… physique quantique ! En effet, il s’avère que les processus déterminantaux sont essentiellement ceux qui décrivent les positions d’un type de particules quantiques appelées fermions, dont l’état vit dans la partie antisymétrique d’une puissance tensorielle d’espace hilbertien (!).

Bien entendu, toutes ces notions seront expliquées au cours de l’exposé, dont la présentation sera orientée selon un angle aussi mathématique que possible. à€ noter que du point de vue technique, il y aura finalement assez peu de probabilités dans ce que je vais raconter (car ici on se contentera de justifier l’intérêt d’étudier les processus déterminantaux : or les probabilités interviennent surtout ensuite, lors de l’étude à  proprement parler) ; par contre, préparez-vous à  subir une bonne dose d’analyse hilbertienne complexe…!