Probabilities and Statistic working group

Réunion d’équipe possible

Deuxième de deux séances.

Un modèle classique de polytope aléatoire proposé par Renyi et Sulanke dans les années 60 consiste à fixer un corps convexe K de R^d, à y choisir n points aléatoires indépendants et uniformément distribués, et à en prendre l’enveloppe convexe K(n). L’asymptotique, pour d fixé et n tendant vers l’infini, du volume de K(n) a été reliée à l’analyse des corps flottants de K par Bárány et Larman dans les années 80. Certaines idées derrière ce lien ont été généralisées dans le “théorème de l’epsilon-net” prouvé par Haussler et Welzl au début des années 90.

Je donnerai une introduction à ces notions, avec l’idée d’aborder lors d’une éventuelle seconde séance, un travail commun avec Imre Bárány, Matthieu Fradelizi, Alfredo Hubard et Günter Rote sur la généralisation du lien polytope aléatoire/corps flottant au cas où la mesure uniforme sur K est remplacée par une mesure plus générale (https://doi.org/10.5802/ahl.44).

What happens if we want to study the convergence of discontinuous real-valued stochastic processes, which is often the case for modelling purposes? For example, think of tracking the evolution of the population size of living species, where deaths are instantaneous negative jumps… In 1956, Skorokhod proposed a topology on the space of discontinuous functions, which is predominant today. The aim of this talk is to explain the simple and intuitive ideas underlying the construction of Skorokhod to facilitate its understanding, without going in the depth of technical proofs. If we have time, we will introduce measure-valued processes, with biological motivations, and explain how the Skorokhod construction can be generalized to more complex spaces such as these measure spaces.

Even if the present talk is self-contained, it can be seen as an introduction to the GdT of May, 22. I will also present my work about measure-valued processes during the GdT SIMBA of April, 24 (14h, Salle de Conférences). You are warmly welcome to attend one of these to discover some of my PhD research!

First, we introduce c`adl`ag measure-valued processes, with biological motivations. We focus on the
construction with Poisson point measures and the useful martingale properties it entails. Then, we
present a general convergence result for these measure-valued processes. We insist on the topological
difficulties encountered, related to Skorokhod spaces. Thus, even if it is self-contained, this talk can
be seen as a natural continuation of the GdT of May, 15.
Note that I also present this work during the GdT SIMBA on April, 24 (14h, Salle de Conf´erences),
with a focus on the new results we obtain compared to the existing literature. This is joint work with
Nicolas Champagnat and Coralie Fritsch

Le sujet de cet exposé est d’étudier l’équation de McKean-Vlasov au travers de trois limites. La première est la limite champ moyen qui stipule que le modèle de McKean-Vlasov est une bonne approximation d’un système de particules en interaction de type champ moyen quand le nombre de particules tend vers l’infini. La deuxième consiste à  regarder le comportement de la loi du processus lorsque le temps tend vers l’infini. En particulier, on cherche à  obtenir une convergence vers la (une des) probabilité(s) invariante(s). Enfin, la troisième limite concerne le temps de sortie lorsque le coefficient de diffusion est asymptotiquement petit. On rappellera les résultats classiques (ou pas) lorsque le potentiel de confinement et le potentiel d’interaction sont tous les deux convexes. Puis, on présentera le cas o๠le potentiel de confinement n’est pas convexe.

Je reviendrai sur la question générale de l’approche trajectorielle (pathwise) des systèmes différentiels stochastiques (équation standard, EDP), à  travers l’évocation de quelques unes des constructions qui lui sont liées : intégrale de Young, théorie des rough paths, regularity structures. Aucun prérequis ne sera nécessaire.

Cet expose donne une definition des processus ponctuels et presente quelques resultats. Parmi eux la formule de Campbell-Mecke, le theoreme de Slivniak-Mecke. Si le temps le permet les distributions de Palm reduites, ainsi que le theoreme de Georgii-Nguyen-Zessin vont etre presentes. Tous ces resultats sont a la base des nombreuses applications en statistique spatialisee.

Résumé

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