Séminaire EDP et Applications | Nancy

Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

The Korteweg-de Vries (KdV) equation was introduced as a model to describe the propagation of long water waves in a channel. This nonlinear third-order dispersive equation has been extensively studied in the past years from different perspectives, particularly its controllability and stabilization properties. In this talk, we focus on the KdV equation posed in a star network. We present controllability and exponential stability results achieved by acting on a reduced number of branches in various configurations (delay, saturation, unbounded branches). This talk is based on joint works with E. Crépeau, C. Prieur,R. A. Capistrano-Filho and J. S. da Silva.

In this talk, I will present controllability results for some linear and non-linear wave equations. The linear equations will be vector-valued and at different levels of regularity. I will give the main ideas of the proof of a change of regularity result. For the non-linear equations, I will consider the case of the focusing cubic Klein-Gordon equation. I will state a local controllability result around a regular solution, and a null-controllability result for scattering solutions. In the presence of damping, I will give both a positive and a negative stabilization result. I will also provide some ideas of proofs.

The presentation will focus on some new results concerning the limiting behavior of minimizing $p$-harmonic maps from a bounded Lipschitz  domain $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ to a compact connected Riemannian manifold without boundary and with finite fundamental group as $p \nearrow 2$. We prove that there exists a closed set $S_{*}$ of finite length such that minimizing $p$-harmonic maps converge to a locally minimizing harmonic map in $\Omega \setminus S_{*}$. We prove that locally inside $\Omega$ the singular set $S_{*}$ is a finite union of straight line segments, and it minimizes the mass in the appropriate class of admissible chains. Furthermore, we establish local and global estimates for the limiting singular harmonic map. Under additional assumptions, we prove that globally in $\overline{\Omega}$ the set $S_{*}$ is a finite union of straight line segments, and it minimizes the mass in the appropriate class of admissible chains, which is defined by a given boundary datum and $\Omega$. In this talk, I will try to give an overview of these results. This is a joint work with Jean Van Schaftingen and Benoît Van Vaerenbergh.

Dans cet exposé, nous discuterons de la convergence vers 0 des solutions de l’équation des ondes amorties non-linéaire. Dans le cas où l’amortissement agit dans une zone vérifiant la « condition de contrôle géométrique », les solutions de l’équation linéaire tendent uniformément et exponentiellement vite vers 0. Il existe de nombreux travaux montrant que cette convergence se transmet presque toujours à l’équation avec une non-linéarité. Quand la « condition de contrôle géométrique » n’est pas vérifiée, la décroissance du semigroupe linéaire n’est plus uniforme. Plusieurs géométries ont été étudiées, donnant lieu à différentes vitesses de décroissance. Le but de l’exposé sera de discuter de ces situations pour l’équation non-linéaire, ce qui reste un domaine très ouvert. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Nous étudions un problème de résonance inverse sur un cylindre hyperbolique infini perturbé radialement et de manière compacte. En utilisant les symétries de ce type de géométrie, nous sommes amenés à étudier une équation de Schrödinger stationnaire sur la droite réelle avec un potentiel V, qui est la somme d’un potentiel de Pöschl-Teller et d’une perturbation que nous considérons intégrable et à support compact. Nous définissons les résonances comme les pôles des coefficients de réflexion avec une partie imaginaire négative. Nous prouvons que, sous certaines hypothèses sur le support de la perturbation compacte, nous sommes capables de résoudre la question de l’unicité dans le problème de résonance inverse. Nous donnons également des asymptotiques des résonances et montrons qu’elles sont asymptotiquement localisées sur deux branches logarithmiques et, selon la localisation du support de q, parfois aussi sur des lignes parallèles à l’axe imaginaire.

On s’intéresse à la notion d’observabilité pour l’équation de la chaleur posée sur un domaine $\Omega$. Étant donné un temps imparti et une donnée initiale quelconque, on cherche à savoir s’il est possible d’estimer la solution de l’équation de la chaleur sur $\Omega$ à l’instant final en fonction de l’évolution de la solution sur un sous-ensemble $\omega$ contenu dans $\Omega$. On souhaite déterminer quelle est la condition géométrique minimale sur \omega assurant l’observabilité. Je présenterai les travaux passés, puis le nouveau résultat obtenu avec Walton Green, Jérémy Martin et Marcu-Antone Orsoni.