Séminaire EDP et Applications | Nancy

La stabilisation des systèmes dynamiques est un problème classique en théorie du contrôle. Dans de nombreux cas provenant de l’ingénierie ou de la physique, seule une mesure partielle de l’état du système est connue. Une approche commune dans ce cas est de s’appuyer sur une estimation de l’état du système sur laquelle on construit notre contrôle. Cependant, l’estimation du système nécessite que la prise de mesure soit une opération injective pour permettre son inversion, c’est l’observabilité du système. Celle-ci dépend fortement de la dynamique. Pour un système dynamique contrôlé non linéaire, cette injectivité est mise à  mal lorsque le système traverse des singularités d’observabilité o๠la reconstruction de l’état est impossible. A ce jour, peu de garanties existent concernant le contrôle et l’estimation simultanée de systèmes admettant des singularités d’observabilité. On discute donc des difficultés posées par ce cas de figure et on explore des stratégies fondées sur les plongements de systèmes dynamiques et les observateurs de dimension infinie.

Nous nous intéresserons à  l’équation de Helmholtz, un des plus simples modèles d’onde, posée à  l’extérieur d’un obstacle. Pour résoudre numériquement une telle équation, posée dans un domaine non-borné, il est naturel d’essayer de se ramener à  un domaine borné. Une technique naturelle, très utilisée en pratique, est de tronquer le domaine et d’imposer une condition au bord du type impédance, qui approche la condition de radiation de Sommerfeld caractérisant le comportement sortant de l’onde, sur le bord tronqué. Avec Jeffrey Galkowski (University College London) et Euan Spence (University of Bath), nous venons de montrer qu’une telle approximation est en faite mauvaise à  hautes fréquences, car à  l’origine d’une erreur relative indépendante de la fréquence. Je présenterai ce résultat et l’idée derrière sa preuve, qui se base sur l’utilisation de mesures de défaut semi-classiques, objet mesurant la concentration de la masse des solutions, à  la fois en position et en direction, dans la limite des hautes fréquences.

Grâce à  la vitesse infinie de propagation, l’équation de Schrodinger est souvent observable en temps très court. Cependant, ce n’est pas le cas si la géométrie sous-jacente est sous-elliptique. Dans cet exposé, on considère l’équation de Schrodinger associée à  l’opérateur de Bouendi-Grushin dont le symbole principal dégénère sur une droite. Dans le cas de Bouendi, l’effet de transport se manifeste dans un certain régime qui est responsable à  une condition de contrôle géométrique sous-elliptique. Dans le cas général o๠l’effet sous-elliptique est plus fort, l’observabilité en temps classique n’est pas vraie et l’on va la remplacer du point vue semi-classique, par une estimation de résolvante optimale. Cet exposé est basé sur les collaborations avec N. Burq (Orsay) et C. Letrouit (ENS).

Un résultat important de Casten, Holland (1978) et Matano (1979) établit que si le domaine est convexe et borné, toute solution stable d’une telle équation est constante. Dans cet exposé, nous examinerons dans quelle mesure ce résultat de classification s’étend aux domaines non-bornés ou non-convexes. Ces questions font intervenir la géométrie du domaine de manière délicate. Nos résultats étendent en particulier certains résultats classiques sur la conjecture de De Giorgi a propos de la classification des solutions de l’équation d’Allen dans R^n.

On considère l’équation de la chaleur semi-linéaire sur la droite réelle. Si la solution est bornée, alors elle est globale et lisse, et l’ensemble des profils limite est non vide, connexe. Il est naturel de se demander dans quelle mesure ces profils limites, et donc le comportement en temps long de la solution, sont déterminés par les solutions stationnaires de l’équation. Si par exemple la solution est convergente, alors son ensemble omega-limite est réduit à  un singleton, solution stationnaire de l’équation. La convergence n’est en revanche pas une propriété générique de ces équations, mais si tous les profils limites sont solutions stationnaires on parlera alors de quasiconvergence. Dans ce séminaire je présenterai quelques résultats de quasiconvergence dans le cas o๠la condition initiale admet des limites à  l’infini. En particulier, dans la situation générique o๠les limites à  l’infini sont distinctes, toute solution bornée est quasiconvergente, indépendamment du terme non linéaire. Dans un second temps, on s’intéresse à  la situation de limites égales. Un résultat similaire est impossible, des contre-exemples ayant été donnés. On montre alors que, dans une certaine mesure, les contreexemples connus sont les seules situations de non quasiconvergence.

Dans les modèles d’écoulement d’un fluide visqueux en contact avec par des parois solides, la condition d’adhérence (qui impose que la vitesse du fluide coïncide avec la vitesse de la paroi le long de celle-ci) est la plus communément employée. Cette condition empirique est satisfaisante pour des écoulements à  échelle macroscopique. Cependant, elle devient imprécise à  des échelles très petites, comme par exemple dans le cas d’écoulement dans des nanotubes de carbone, o๠de nombreuses expériences ont mesuré un glissement du fluide sur la paroi. Ce glissement est généralement modélisé par une condition de Navier, qui introduit un paramètre appelé longueur de glissement. De nombreuses hypothèses sont actuellement étudiées pour expliquer l’origine de ce glissement apparent, et obtenir des longueurs de glissement cohérentes avec celles mesurées expérimentalement. L’une d’entre elles est la présence au voisinage de la paroi d’une couche de gaz extrêmement fine réduisant la friction entre le fluide et la paroi. Suivant les travaux de Tim G. Myers (Centre for mathematical research, Barcelona), nous proposerons dans cet exposé un modèle simplifié dans lequel la couche gazeuse est caractérisée par sa viscosité beaucoup plus faible que dans le reste du fluide. En partant d’une condition d’adhérence sur la paroi, nous montrerons que pour un certain choix du rapport des viscosités, le problème limite obtenu lorsque l’épaisseur de la couche gazeuse tend vers zéro est effectivement régi par une condition de Navier. Ce travail est en collaboration avec Julien Olivier (Aix-Marseille Université).

On considère une question étroitement liée à  une conjecture de Gromov: A quel seuil de régularité les immersions isométriques des domaines de $mathbb R^2$ dans $mathbb R^3$ sont développables? On cherche la réponse dans les régimes de Hölder $C^{1,s}$ ou plus généralement de Sobolev fractionnel $W^{1+s, p}$. Des bornes supérieures pour la valeur de seuil de $s$ sont classiquement obtenues par la méthode de l’integration convexe. Pour trouver les bornes inférieures, on définit une seconde forme fondamentale pour l’isométrie en question et on démontre qu’elle est une solution faible du système d’EDP de Gauss-Codazzi si $s>2/3$. L’analyse menant à  une démonstration de cette rigidité passe alors à  une discussion des solutions non-convexes et très faibles de l’équation de Monge-Ampère, et aux problèmes liés au déterminant de jacobien distributionnel.

Durant les 40 dernières années, des efforts considérables ont été consacrées à  l’étude des systèmes de réaction-diffusion avec des données initiales bornées ou de carré intégrable, et avec des non-linéarités au plus quadratiques. En revanche, on en sait relativement peu dans le cas o๠les données initiales sont de faible régularité et les non-linéarités sont à  croissance super-quadratique. Dans cet exposé, nous présentons une nouvelle estimation a priori avec des données initiales dans L1 qui étend l’estimation a priori L2 de Michel Pierre. Ensuite, nous expliquons comment cette estimation a priori L1 nous permet : de simplifier la preuve de certains résultats récents ; d’établir de nouveaux résultats d’existence pour des systèmes o๠les non-linéarités sont super-quadratiques. L’exposé repose sur un travail récent avec Benoit Perthame et sur un papier avec Michel Pierre.

My talk will be devoted to the qualitative properties of some nonlocal reaction-diffusion equations set on “perforated » open sets. One of the cornerstones in the study of this type of problem lies in suitable rigidity results of Liouville-type, which allow the classification of stationary solutions. I will give some results in this direction, under some geometric assumptions on the domain. This talk is based on some joint works with J. Coville, F. Hamel and E. Valdinoci.

I will present some recent results obtained in collaboration with Roberto Feola. I shall prove that small solutions of quasilinear equations on the circle exist for long time (depending on the size of the initial condition) if the equation enjoys an algebraic structure. In this directions I will consider the Hamiltonian or reversible equations. The main difficulties are the lack of dispersion, due to the compactness of the circle, and the lack of “easy” energy estimates due to the quasi-linear nature the considered equations.