Séminaire EDP et Applications | Nancy

Il est connu qu’une application harmonique minimisante sur un domaine borné \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) à valeurs dans une variété \(\mathcal{N}\) — à savoir minimisant l’énergie de Dirichlet avec sa propre donnée au bord — est lisse. En particulier, si \(\Omega\) est simplement connexe, alors il n’est pas possible d’étendre à énergie finie une donnée au bord dont la classe d’homotopie n’est pas triviale. Pour de telles données au bord, nous verrons cependant comment définir des applications les plus harmoniques possibles. Ces applications sont harmoniques en dehors d’un ensemble fini de points — ou singularités ponctuelles — d’où l’appellation {\it applications harmoniques singulières}. L’énergie diverge alors logarithmiquement près de chaque singularité et dépend de la classe d’homotopie associée (le degré dans le cas où la variété est le cercle). La minimisation de l’énergie à l’ordre principal conduit à un problème combinatoire non trivial consistant à décomposer la donnée au bord en une liste optimale de singularités topologiquement compatibles ; nous décrirons quelques exemples concrets issus de la physique. À l’ordre suivant, être le plus harmonique possible signifie que l’énergie renormalisée, obtenue en retirant à l’énergie de Dirichlet la contribution infinie près de chaque singularité, est minimale. Nous verrons que pour certaines variétés suffisamment symétriques, en particulier dans le cas du cercle étudié par Bethuel-Brézis-Hélein, il est possible de caractériser le comportement près d’une singularité des applications minimisant l’énergie renormalisée.

Dans cette présentation sont présentées des méthodes de type éléments discrets ayant la particularité de dériver des équations continues de modèles mécaniques d’intérêt.

Ces travaux ont été effectués en collaboration avec A. Ern et L. Monasse.

We study the asymptotic behavior of linear hyperbolic systems subject to unknown boundary disturbances. Our aim is to construct a boundary feedback law, based on a sliding mode procedure, which rejects the disturbance in finite time and which globally stabilizes the equilibrium point zero. The main novelty of our approach consists in defining a sliding variable and a corresponding sliding surface on which the global exponential stability is ensured. More precisely, the sliding surface is derived from the gradient of a Lyapunov function. We will extend this approach to an equation of conservation laws with simulations.

Dans cet exposé je m’intéresserai à l’approximation numérique du modèle d’Euler à 2 températures dans le cadre bidimensionnel. Ce modèle est un système hyperbolique non conservatif capable de décrire un plasma hors équilibre. L’une de ses principales difficultés réside dans la gestion des
produits entre la vitesse et les gradients de pression dans le cas de chocs. Nous développerons un schéma numérique de type BGK discret que nous
étendrons à l’ordre 2. Cette extension sera réalisée en découpant chaque cellule en 4 triangles et en effectuant une reconstruction affine par maille. Ces idées ont été développées dans un cadre conservatif. Nous montrons dans le cas présent comment elles peuvent se généraliser à un cadre non conservatif.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Denise Aregba-Driollet et Corentin Prigent.

En 2004, C. Besse a présenté pour l’équation de Schrödinger non linéaire cubique la méthode d’intégration en temps appelée méthode de relaxation. Celle-ci est une méthode d’ordre 2, linéairement implicite (c’est-à-dire ne nécessitant que la résolution d’un système linéaire à chaque pas de temps) permettant de préserver à la fois la masse et une énergie discrète, propriétés vérifiées par le modèle continue. Dans cet exposé j’en présenterai deux « extensions ». La première permet d’étendre la méthode au cas d’exposants de non linéarité généraux tout en conservant l’ordre 2 et la préservation de la masse et d’une énergie discrète. La seconde, qui peut également s’appliquer à d’autres équations, permet d’obtenir la construction systématique de méthodes linéairement implicites d’ordre aussi élevé que l’on veut.

First, we consider a system of two wave equations coupled by velocities in one-dimensional space with one boundary fractional damping and we prove that the energy of our system decays polynomially with different rates. Second, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with only one internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type and we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t. Finally, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with local viscoelastic damping of past history type acting only in one equation via non smooth coefficients and we establish the exponential stability of the solution if and only if the two waves have the same speed of propagation. In case of different speed propagation, we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t.

Dans cet exposé, nous présenterons plusieurs résultats concernant un problème d’optimisation en écologie spatiale et qui peut se formuler ainsi: comment, au sein d’un domaine, répartir les ressources accessibles à une population afin de garantir que cette dernière soit de taille maximale? Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur les propriétés qualitatives de ce problème. Nous mettrons en évidence, entre autre, des propriétés de type concentration/fragmentation des ressources: vaut-il mieux répartir le plus possible les ressources ou, au contraire, les concentrer en un unique endroit? Contrairement à plusieurs critères mieux connus (comme la capacité de survie), où la concentration de ressources est toujours favorable, et ce indépendamment de la vitesse de déplacement des individus, pour la taille de la population, nous montrons que, plus cette vitesse de déplacement est faible, plus la fragmentation est un atout. La première partie de l’exposé sera essentiellement descriptive, et nous donnerons des éléments de preuve dans la seconde. Les différents travaux qui seront présentés ont été réalisés en collaboration avec G. Nadin, Y. Privat et D. Ruiz-Balet.

We investigate the evolutionary dynamics of a population structured in phenotype, subjected to trait dependent selection with a linearly moving optimum and an asexual mode of reproduction. The model consists of a non-local and non-linear parabolic PDE. Our main goal is to measure the history of traits when the population stays around an equilibrium. We define an ancestral process based on the idea of neutral fractions. It allows us to derive quantitative information upon the evolution of diversity in the population along time. First, we study the long-time asymptotics of the ancestral process. We show that the very few fittest individuals drive adaptation. We then tackle the adaptive dynamics regime, where the effect of mutations is asymptotically small. In this limit, we provide an interpretation for the minimizer of some related optimization problem, an Hamilton Jacobi equation, as the typical ancestral lineage.

En se concentrant sur les équations de Burgers stochastiques avec bruit blanc espace-temps, on va dérouler une procédure générale et assez standard qui prouve simultanément existence et d’unicité de la solution de l’équation aux dérivés partielles stochastiques avec bruit additif et la convergence (forte) d’un schéma d’approximation vers la solution. Le schéma sera explicite discret de type Euler exponentiel accéléré. Au cours de la présentation on détaillera aussi toutes les quantités qu’on considère, bruit et convolution stochastique inclus. Une partie de l’exposé est basée sur des travaux commun avec A. Jentzen et D. Salimova.