Séminaire EDP et Applications | Nancy

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Structure-preserving low-regularity integrators for dispersive nonlinear equations

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 24 septembre 2024 10:45-11:45 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Georg Maierhofer (Oxford) Résumé :

Attention : le séminaire aura lieu en salle Döblin.

 

Abstract: Dispersive nonlinear partial differential equations can be used to describe a range of physical systems, from water waves to spin states in ferromagnetism. The numerical approximation of solutions with limited differentiability (low-regularity) is crucial for simulating fascinating phenomena arising in these systems including emerging structures in random wave fields and dynamics of domain wall states, but it poses a significant challenge to classical algorithms. Recent years have seen the development of tailored low-regularity integrators to address this challenge. Inherited from their description of physicals systems many such dispersive nonlinear equations possess a rich geometric structure, such as a Hamiltonian formulation and conservation laws. To ensure that numerical schemes lead to meaningful results, it is vital to preserve this structure in numerical approximations. This, however, results in an interesting dichotomy: the rich theory of existent structure-preserving algorithms is typically limited to classical integrators that cannot reliably treat low-regularity phenomena, while most prior designs of low-regularity integrators break geometric structure in the equation. In this talk, we will outline recent advances incorporating structure-preserving properties into low-regularity integrators. Starting from simple discussions on the nonlinear Schrödinger and the Korteweg–de Vries equation we will discuss the construction of such schemes for a general class of dispersive equations before demonstrating an application to the simulation of low-regularity vortex filaments. This is joint work with Yvonne Alama Bronsard, Valeria Banica, Yvain Bruned and Katharina Schratz.


Mesures de Gibbs en environnement singulier

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 25 juin 2024 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Hugo Eulry (ENS Rennes) Résumé :

On s’intéressera dans cet exposé à l’étude d’objets présentant un caractère singulier et des opérations mal posées, l’objet central étant l’opérateur d’Anderson, un opérateur de Schrödinger où le potentiel est un bruit blanc espace. Après avoir discuté de sa construction et des propriétés qui en découlent, on établira un contrôle de sa fonction de Green de l’opérateur afin de comprendre sa singularité.
Dans un deuxième temps, on s’intéressera à des dynamiques dirigées par cet opérateur et particulièrement à la construction de mesures invariantes dans ce cadre. On s’attardera sur la définition de la mesure gaussienne associée et son utilisation pour comprendre le modèle $\Phi^4_2$ dans un environnement régi par un bruit blanc espace. Après avoir construit la mesure invariante par des méthodes variationnelles, on s’intéressera aux propriétés qui découlent du point de vue dynamique : solutions globales, propriété de Feller et propriété de Feller forte.
Les résultat présentés sont basés sur des travaux en collaboration avec Antoine Mouzard et Tristan Robert.


Un effet régularisant pour l'équation de Schrödinger fractionnaire et estimées d'observabilité

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 18 juin 2024 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Nikolay Tzvetkov (ENS Lyon) Résumé :

On va montrer comment on peut définir le carré du module de la solution de l’équation de Schrödinger fractionnaire sur le tore avec condition initiale dans un espace de Sobolev arbitrairement singulier. Ensuite on va montrer comment cela peut être utile dans des estimations d’observabilité.


Perturbations sur le bord, de petite taille, pour une équation elliptique

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 28 mai 2024 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Eric Bonnetier (Institut Fourier) Résumé :

De nombreux travaux ont été consacrés à la dérivation d’approximations asymptotiques
des solutions d’une équation elliptique, lorsqu’on perturbe le milieu par des inhomogénéités
de petit volume. Les termes des développements asymptotiques des solutions contiennent
des informations sur la localisation, la forme et les propriétés physiques des inhomogénéités,
qui ont été exploitées avec bonheur dans le contexte des problèmes inverses d’identification
.
Dans cet exposé, nous présentons des résultats concernant le comportement des solutions
lorsque l’on perturbe la condition au bord sur un `petit’ ensemble $\omega_\e$. Nous caractérisons
le terme de premier ordre du développement asymptotique en fonction de la mesure pertinente de
la taille de la perturbation $\omega_\e$. Nous donnons des exemples explicites lorsque $\omega_\e$
est une boule surfacique dans $\R^d, d=2,3$.

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Charles Dapogny et Michael Vogelius.


Ensemble Kalman Filters - from Data Assimilation to general Inverse Problems

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 21 mai 2024 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Mark Asch (Université de Picardie) Résumé :

In this talk, I will briefly recall the historical Kalman filter and its ensemble form. Then I will show how the latter has been successfully implemented for data assimilation, in particular in numerical weather forecasting. More recently, the Ensemble Kalman Filter has been proposed as a methodology for solving very general inverse problems in high-dimensional contexts. I will present the theory, show some simple applications and point out the numerous open problems that remain.


Anisotropic Sobolev inequalities with monomial weights

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 14 mai 2024 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Maria Rosaria Posteraro (Université de Naples) Résumé :

Observabilité optimale en temps grand de l’équation de la chaleur et positionnement optimal de capteurs

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 7 mai 2024 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Yannick Privat (IECL) Résumé :

Il est bien connu que la reconstruction d’une donnée initiale associée à une équation parabolique à partir de mesures internes de sa solution pendant un temps T, sur un domaine $\omega$ appelé domaine d’observation équivaut à la question de l’observabilité, ou plus précisément à la positivité de ce qu’on appelle la constante d’observabilité associée à $\omega$. Cette constante dépend du domaine d’observation $\omega$ mais aussi de façon cruciale de l’horizon temporel T.  

Dans cet exposé, nous nous intéressons au positionnement optimal de capteurs thermiques. Il est raisonnable de modéliser cette question apr la recherche des domaines extrémaux (lorsqu’ils existent) maximisant cette constante d’observabilité. Pour être physiquement pertinent, nous imposons une restriction sur la mesure du domaine observé. 

Après avoir introduit une relaxation convexe du problème d’optimisation de la forme, nous déterminons le comportement asymptotique des maximiseurs lorsque T tend vers $+\infty$. En utilisant de façon cruciale un principe de la baignoire quantitatif, nous prouvons la forte convergence des maximiseurs vers la fonction caractéristique d’un ensemble mesurable que nous caractérisons précisément, et montrons en outre que cette convergence est exponentielle. 

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Idriss Mazari (univ. Paris Dauphine) et Emmanuel Trélat (Sorbonne univ.)


Existence and boundedness of solutions to singular anisotropic elliptic equations

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 16 avril 2024 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Florica Cirstea (Université de Sydney) Résumé :
In this talk, we present new results on the existence and uniform boundedness of solutions for a general class of Dirichlet anisotropic elliptic problems
of the form
$$ -\Delta_{\overrightarrow{p}}u+\Phi_0(u,\nabla u)=\Psi(u,\nabla u) +f \quad \mbox{in } \Omega, \qquad u=0 \quad \mbox{on }\partial \Omega,$$
where $\Omega$ is a bounded domain in $ \mathbb R^N$ $(N\geq 2)$, $ \Delta_{\overrightarrow{p}}u=\sum_{j=1}^N \partial_j (|\partial_j u|^{p_j-2}\partial_j u)$ and
$\Phi_0(u,\nabla u)=\left(\mathfrak{a}_0+\sum_{j=1}^N \mathfrak{a}_j |\partial_j u|^{p_j}\right)|u|^{m-2}u$,
with $\mathfrak{a}_0>0$,
$m,p_j>1$,   $\mathfrak{a}_j\geq 0$ for $1\leq j\leq N$ and $N/p=\sum_{k=1}^N (1/p_k)>1$. We assume that $f \in L^r(\Omega)$ with $r>N/p$. The feature of this study  is the inclusion of a possibly singular gradient-dependent term $\Psi(u,\nabla u)=\sum_{j=1}^N |u|^{\theta_j-2}u\, |\partial_j u|^{q_j}$, where $\theta_j>0$ and $0\leq q_j<p_j$ for $1\leq j\leq N$.
This is joint work with Barbara Brandolini (Università degli Studi di Palermo).

Inverse Regge Pole Problem on a warped ball (séminaire en visioconférence)

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 5 avril 2024 13:00-14:00 Lieu : L'exposé sera diffusé en salle de visioconférence de Nancy et également via ce lien : https://webvisio.univ-lorraine.fr/meeting/5132?secret=734f4e30-f8c5-4938-8469-848f0f54d65d Oratrice ou orateur : Jack Borthwick (Université PcGill) Résumé :
Dans cet exposé, je parlerai d’un nouveau type de problème inverse sur des boules « tordues» consistant à déterminer la métrique à partir de la donnée des « pôles de Regge ». Ces derniers sont définis comme les pôles de la continuation méromorphe de l’opérateur Dirichlet à Neumann par rapport à un paramètre de moment angulaire complexe provenant d’une séparation des variables permise par la géométrie particulière des boules tordues.
Cet exposé est basé sur un travail commun avec N. Boussaïd et T. Daudé (Besançon).

 

! Attention ! Séminaire en visioconférence et à un horaire inhabituel.


Approximation du flot de courbure moyenne des structures minces

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 2 avril 2024 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Chih-Kang Huang (Institut Jean Lamour) Résumé :

Nous abordons l’approximation du flot de courbure moyenne des structures minces, pour lesquelles les méthodes classiques des champs de phase ne sont pas adaptées. Par structures minces, nous entendons soit des structures de codimension supérieure, typiquement des filaments, soit des surfaces non fermées et des surfaces non orientables.
Nous proposons une nouvelle approche qui consiste à introduire dans l’équation d’Allen-Cahn un terme de pénalisation localisé autour du squelette de l’ensemble en évolution. Cette approximation garantit une épaisseur minimale pendant l’évolution, prohibant ainsi les auto-intersections. L’efficacité numérique de notre approche est illustrée par des approximations du flot de courbure moyenne des filaments. Nous montrons son utilisation pour les approximations numériques aux problèmes de Steiner et de Plateau en dimension 3. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Elie Bretin (INSA Lyon) et Simon Masnou (Lyon 1).


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