Séminaire EDP et Applications | Nancy

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Well-posedness and control of the Schrödinger equation by deformations of the domain

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 23 novembre 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Alessandro Duca (Laboratoire de Mathématiques de Versailles) Résumé :


Lotka-Volterra competition-diffusion system: the critical competition case

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 16 novembre 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Dongyuan Xiao (Montpellier) Résumé :

We consider the reaction-diffusion competition system

$$u_t=u_{xx}+u(1-u-v), \\
v_t=dv_{xx}+rv(1-v-u),$$

which is the so-called critical case. The associated ODE system then admits infinitely many equilibria, which makes the analysis quite intricate. We first prove the non-existence of monotone traveling waves by applying the phase plane analysis. Next, we study the long-time behavior of the solution of the Cauchy problem with a compactly supported initial datum. We not only reveal that the  »faster » species excludes the   »slower » species (with an identified  »spreading speed »), but also provide a sharp description of the profile of the solution, thus shedding light on a new  »bump phenomenon ».


Équation de Schrödinger logarithmique : dynamique en temps long, régime dispersif

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 9 novembre 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Guillaume Ferriere (IRMA, Université de Strasbourg) Résumé :

Nous nous intéresserons dans cet exposé à l’équation de Schrödinger logarithmique (abrégé en logNLS), équation non-linéaire introduite en 1976 par Białynicki-Birula et Mycielski dans un modèle de mécanique des ondes linéaires en physique. Longtemps oublié par les mathématiciens, cette équation présente une dynamique originale, parfois surprenante comparée à celle des équations de Schrödinger non-linéaires usuellement étudiées, dont les non-linéarités sont régulières voire lisses (typiquement du type puissance). J’exposerai quelques propriétés de logNLS qui attestent de cette originalité, en me focalisant sur les résultats de comportement en temps long. En particulier, sera présenté plus en profondeur le cas du régime dispersif, dont la compréhension du comportement en temps grand est très avancée : la vitesse de dispersion est plus rapide d’un facteur logarithmique et le carré du module de la solution renormalisée converge faiblement dans L^1 vers une gaussienne universelle, ne dépendant pas des conditions initiales. Je montrerai que cette description peut être améliorée par une vitesse de convergence explicite et optimale en distance de Wasserstein-1 (aussi appelé métrique de Kantorovich-Rubinstein), indépendante de la constante semi-classique, et que cette convergence est également valable à la limite semi-classique.


Constructions variationnelles pour les équations quasi-géostrophiques de surface

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 19 octobre 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Philippe Gravejat ( CY Cergy Paris Université) Résumé :

L’équation quasi-géostrophique de surface est un modèle issu de la mécanique des fluides géophysiques qui présente de fortes similarités avec l’équation d’Euler incompressible. Le but de cet exposé est de décrire deux constructions variationnelles qui permettent d’obtenir des solutions particulières de cette équation sous la forme d’une paire de vortex en translation et sous celle d’un polygone régulier de vortex en rotation. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ludovic Godard-Cadillac (Université de Nantes) et Didier Smets (Sorbonne Université).


Sur une inégalité en géométrie spectrale et la conjecture P2mu1

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 12 octobre 2021 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Antoine Lemenant (IECL) Résumé :

Dans cet exposé, qui se veut élémentaire et facile à suivre, on parlera d’un travail en collaboration avec Antoine Henrot et Ilaria Lucardesi au cours duquel nous cherchons à maximiser la première valeur propre (non triviale) du Laplacien Neumann parmi tous les corps convexes du plan, à Périmètre fixé. Ceci fait référence à une conjecture ouverte depuis au moins 2009. Nous avons notamment résolu la question pour les convexes ayant 2 axes de symétrie orthogonaux à l’aide d’une preuve assez courte et astucieuse. Le cas général semble beaucoup plus difficile, et j’essaierai d’expliquer pourquoi.


Towards Sustainable Fisheries Management

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 29 juin 2021 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Nadia Raissi (Université Mohammed V, Rabat) Résumé :

The concept of sustainability can be formulated as the search for a stable ecosystemic balance. The manager has an arsenal of legal measures at his disposal, and mathematical models can be used to analyze their performance. Mathematical modeling in fisheries management has undergone significant theoretical development. Looking over basic fishery models of the literature, it appears three main conceptual frameworks to analyze the sustainability. Maximum sustainable yield, optimal equilibrium then viability.  that its application is a process in continuous progress, knowing that the potential of mathematical theory remains under used. For instance, the introduction of the recent development of « game theory » into the modeling of this issue should be helpful. Illustrating therefore the previously stated thesis that the more the assumptions are realistic, the more sophisticated mathematical tools are needed.


On the minimization of convex, variational integrals of linear growth

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 22 juin 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférence virtuelle EDP Oratrice ou orateur : Lisa Beck (Augsburg University) Résumé :

We study the minimization of functionals of the form

$$ u \mapsto \int_\Omega f(\nabla u) \, dx $$

with a convex integrand $f$ of linear growth (such as the area integrand), among all functions in the Sobolev space W$^{1,1}$ with prescribed boundary values. Due to insufficient compactness properties of these Dirichlet classes, the existence of solutions does not follow in a standard way by the direct method in the calculus of variations and might in fact fail, as it is well-known already for the non-parametric minimal surface problem. In such cases, the functional is extended suitably to the space BV of functions of bounded variation via relaxation, and for the relaxed functional one can in turn guarantee the existence of minimizers. However, in contrast to the original minimization problem, these BV minimizers might in principle have interior jump discontinuities or not attain the prescribed boundary values.

After a short introduction to the problem I want to focus on the question of regularity of BV minimizers. In past years, Sobolev regularity was established provided that the lack of ellipticity — which is always inherent for such linear growth integrands — is mild, while, in general, only some structure results seems to be within reach. In this regard, I will review several results which were obtained in cooperation with Miroslav Bulíček (Prague), Franz Gmeineder (Konstanz), Erika Maringová (Vienna), and Thomas Schmidt (Hamburg).


Sur la diffraction dans une plaque de Kirchhoff-Love infinie : problème direct et problème inverse

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 15 juin 2021 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Laurent Bourgeois (ENSTA) Résumé :
Cette présentation concernera des problèmes directs et inverses de diffraction dans une plaque de Kirchhoff-Love infinie, l’objet diffractant étant formé par un obstacle pénétrable de forme quelconque.
Quatre types de conditions aux limites sont considérées sur le bord de l’obstacle : plaque encastrée, simplement supportée, portée par un roller et libre.
Concernant le problème direct, nous prouvons le caractère bien posé dans ces quatre situations, pour tout nombre d’onde dans les trois premières, sauf pour un nombre discret de nombres d’onde dans la dernière, qui est la plus difficile (le cas libre correspond à un trou dans la plaque).
Nous aborderons ensuite le problème inverse de reconstruction de l’obstacle à partir de mesures en champ proche. A cette fin, nous adaptons la Linear Sampling Method de Colton-Kirsch pour imager les obstacles, et montrerons des résultats numériques pour illustrer la faisabilité de cette approche.

La partie « problème direct » est un travail en collaboration avec Christophe Hazard, la partie « problème inverse » une collaboration avec Arnaud Recoquillay.


Duality between invisibility and resonance with some applications

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 8 juin 2021 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Houssem Haddar (Inria Saclay) Résumé :

For a given scatterer, is it possible to design an incident wave that produces no scattering? The answer is yes if and only if the wave number coincides with a resonant frequency of an interior problem formulated inside the scatterer. This duality can be reversed and exploited to compute scattering poles. It can also be used to produce an indicator function for crack densities in a fractured media. These issues and related open questions will be the main topic of my talk.


Optimisation de formes de masse infinitésimale

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 25 mai 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférence virtuelle EDP Oratrice ou orateur : Jean-François Babadjian (Paris Saclay) Résumé :

Dans ce travail en collaboration avec Flaviana Iurlano et Filip Rindler, nous considérons un problème classique d’optimisation qui consiste à rechercher la forme optimale minimisant la compliance d’une structure élastique sous une contrainte de masse. Nous effectuons une analyse asymptotique des formes « quasi-optimales » quand la masse tend vers zéro. Les configurations limites sont données par des mesures de probabilité minimisant une énergie relaxée explicite, due à une perte de convexité du fait de la contrainte de masse. Nous retrouvons ainsi un modèle limite qui justifie rigoureusement la théorie des treillis de Michell pour des structures optimales de petite dimension par rapport à l’espace ambiant.

 


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