PDE and applications seminar | Nancy

Le séminaire aura lieu en visio-conférence dans la salle de conférence.

This talk deals with the stability analysis of discrete shock profiles
for systems of conservation laws. These profiles correspond to
approximations of shocks of systems of conservation laws by
conservative finite difference schemes. Discontinuous solutions
appear naturally in the study of systems of conservation laws, which
can model many physical situations, such as gas dynamics. Existence
and stability of discrete shock profiles for each stable shock of the
approximated system of conservation laws is seen as an
improved consistency condition and implies that the finite difference
scheme should be able to approach discontinuities fairly precisely.

The aim of the talk is to review some stability results regarding
discrete shock profiles and to present a recent effort to extend them.
More precisely, most results known up until recently are focused on
the stability of discrete shock profiles associated with shocks
of small amplitude. The talk will focus on a nonlinear orbital
stability result for discrete shock profiles in quite a general
setting, where the smallness assumption on the shock’s amplitude is
replaced by a spectral stability assumption on the linear operator
obtained by linearizing the numerical scheme about the discrete shock
profile. This nonlinear orbital stability result relies on a precise
description of the Green’s function of the linearization about
discrete profiles.

Exposé dans le cadre des journées thématiques « Quantum Lo » : mécanique quantique en Lorraine

Studying the spectrum of the Hamiltonian as a function of the control parameters plays a fundamental role in
establishing which states can be joined one to another by adiabatic control. More, generally,
conditions based on the behavior of the eigenvalue intersections can be used to establish operator controllability (not necessarily using adiabatic steering). In this talk we will present some results in this direction and also discuss how the spectrum can be used to deduce controllability when some control parameters are imposed to be constant.

We consider a rigid body moving in an inviscid compressible fluid within a bounded domain. The fluid is thereby described by the compressible Euler equations, while the rigid body obeys the conservation of linear and angular momentum. This gives us a coupled system comprising an ODE and the initial boundary value problem (IBVP) of a hyperbolic system with characteristic boundary, where the fluid velocity matches the solid velocity along the normal direction of the solid boundary.
We establish the existence of a unique classical solution to this coupled system. Our approach involves constructing an approximate system with a non-characteristic boundary, which enables the decoupling of the fluid and solid equations. To obtain uniform norm control, we employ the conormal vector fields to derive the conormal and vorticity estimates, by using the structure of Euler equations. Finally, we are able to obtain the solution by compactness principle.

Dans cet exposé, nous montrerons un résultat de contrôlabilité à zéro
d’une équation parabolique d’ordre quatre sous des conditions aux
limites générales satisfaisant la condition de Lopatinskii-Sapiro. Pour
ce faire, nous établirons une inégalité spectrale pour la solution du
système parabolique, ce qui nous conduira au résultat de contrôlabilité
à zéro. Cette inégalité spectrale découle d’une inégalité
d’interpolation obtenue grâce à une inégalité de Carleman pour
l’opérateur d’ordre quatre sous les conditions aux limites satisfaisant
la condition de Lopatinskii-Sapiro.

C’est un travail en collaboration avec Luc Robbiano.

During this presentation, I will try to draw up a panel of existing results until now
concerning the mathematical justification of multiphase systems for compressible viscous
flows. We will end up the presentation with a recent work with Cosmin Burtea, Frédéric
Lagoutière and Pierre Gonin–Joubert.

Dans ce travail avec Peter Sternberg, nous prouvons l’existence d’une solution entière de l’équation d’Allen-Cahn vectorielle qui est minimisante au sens de De Giorgi. Le potentiel a trois puits et n’est pas supposé être symétrique. Les blow-downs de la solution vers une triple jonction.

L’équation de Korteweg-de Vries modifiée (mKdV) est un modèle asymptotique en mécanique des fluides, et ses solutions auto-similaires sont liés à la formation de spirales (avec coin) dans les vortex patch.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents obtenus en collaboration avec Simão Correia (Lisbonne) et Luis Vega (Bilbao), concernant la description, la stabilité et la perturbation de la dynamique à l’explosion des solutions auto-similaires de (mKdV).

Dans cet exposé, on s’intéresse à des inégalités fonctionnelles pour les systèmes de fonctions orthonormées en norme L^p. Le défi majeur consiste à prouver une dépendance optimale sur le nombre de fonctions impliquées. Nous nous concentrerons sur une famille d’inégalités appelées estimées « spectral cluster », qui concernent les combinaisons linéaires de fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami sur des variétés riemanniennes compactes. Une version a été établie par R. Frank et J. Sabin dans le cadre de métriques lisses, généralisant les travaux fondateurs de Sogge des années 80. Nous verrons comment prouver de telles estimées en plus basse régularité. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Jean-Claude Cuenin (University of Loughborough).