PDE and applications seminar | Nancy

Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

Dans cet exposé, on étudiera la stabilité des ondes planes de l’équation de Schrödinger logarithmique sur le tore, avec ou sans amortissement. Le comportement de ces solutions sera notamment illustré par des simulations numériques.

Au début de l’exposé, j’introduirai les problèmes d’évolution qui prennent la forme d’inclusions différentielles. Ensuite je préciserai un cadre théorique où celles-ci sont bien posées et enfin je proposerai un schéma numérique adapté avec un ordre de convergence égal à 1/2.

Après une courte introduction, je montrerai dans cet expose comment on peut établir, au niveau numérique, des propriétés d’hypocoercivité discretes pour des méthodes d’intégration en temps de l’équation de Fokker–Planck linéaire, qui assurent notamment la convergence exponentielle en temps long de la solution numérique vers un état d’équilibre discret. On utilisera pour cela une méthode de preuve à la Villani, adaptée au contexte discret. Il s’agit d’un travail en commun avec Frédéric Herau (Nantes) et Pauline Lafitte (CentraleSupelec).

Les EDPs elliptiques du type $\Delta f = |\nabla f|^2$ sortent du cadre
classique de l’analyse par Calderon-Zygmund et admettent des solutions non
régulières. Il est remarquable de constater que l’équation $\Delta \phi =
|\nabla \phi|^2 \phi$, $\phi \in \mathbb S^2$, elle, satisfait une régularité. Ce
contraste ne peut s’expliquer analytiquement : les deux équations ont les
mêmes croissances, la même forme, le même comportement extérieur. Il faut
faire appel à une intuition géométrique, et à des résultats de compacité par
compensation pour expliquer cette divergence.

Cette procédure, cette idée, cette méthode, se retrouve pour analyser
d’autres équations, au deuxième ordre l’ensemble des équations harmoniques,
et au quatrième ordre, l’équation des surfaces de Willlmore.

Nous aborderons la régularité de ces solutions, et le comportement des
suites en mettant en évidence les phénomènes de concentration, conditionnés
par l’analyse des équations. Enfin nous exploiterons les liens entre les
deux problèmes pour en tirer des applications.

Dans cet exposé, nous montrons un résultat de stabilisation pour l’équation de la plaque amortie avec une décroissance logarithmique de l’énergie de la solution. La preuve de ce résultat est réalisée au moyen d’une estimation de Carleman pour les opérateurs elliptiques d’ordre quatre avec les conditions au bord dites de Lopatinskii-Sapiro et d’une estimation de la résolvante pour le générateur du semigroupe de la plaque amortie associé à ces conditions aux limites. La dérivation des inégalités de Carleman passe d’abord par des estimations microlocales, puis par des estimations locales, et enfin par une estimation globale.

Dans cet exposé, je présenterai le modèle tensoriel de Landau de Gennes pour les cristaux liquides nématiques dans le régime dit de Lyutsyukov faisant intervenir des applications à valeurs dans la sphère S4. Ce modèle décrit les configurations stables de cristaux liquides comme étant les minimiseurs d’une énergie de type Ginzburg-Landau dont le puit de potentiel est le plan projectif réel. Lorsque le domaine est une boule et la donnée de Dirichlet est à symétrie radiale (équivariante), on pourrait s’attendre à ce qu’un minimiseur soit également à symétrie radiale. De nombreuses simulations numériques montrent que ce n’est pas du tout le cas. Une certaine structure en tore apparaît. Une symétrie axiale semble toutefois préservée, et celle-ci a souvent été utilisée comme ansatz faisant alors apparaître d’autres solutions, singulières, appelées solutions splits. A l’aide de résultats de régularité sur ce modèle, j’essayerai d’expliquer l’existence et la géométrie de ces solutions tores et splits. Cet exposé est basé sur une série de travaux en collaboration avec Federico Dipasquale et Adriano Pisante.

We consider the reaction-diffusion competition system

which is the so-called critical case. The associated ODE system then admits infinitely many equilibria, which makes the analysis quite intricate. We first prove the non-existence of monotone traveling waves by applying the phase plane analysis. Next, we study the long-time behavior of the solution of the Cauchy problem with a compactly supported initial datum. We not only reveal that the ”faster” species excludes the  ”slower” species (with an identified ”spreading speed”), but also provide a sharp description of the profile of the solution, thus shedding light on a new ”bump phenomenon”.