PDE and applications seminar | Nancy

Dans cet exposé nous présenterons des résultats d’existence, d’unicité et de régularité de solution pour certains problèmes elliptiques du second ordre complètement non linéaires. Les opérateurs sont du modèle du p-Laplacien mais ne peuvent pas se mettre sous forme divergente. Les solutions le seront donc dans le sens des solutions de viscosité.  Dans la première partie, notre démarche sera d’abord de prouver l’existence de sous- et sur- solutions de viscosité. Puis, nous montrerons l’existence de solutions de viscosité à l’aide de la méthode de Perron. Nous prouverons l’unicité de la solution et discuterons sa régularité. Dans la deuxième partie, nous considérerons un opérateur symétriquement radiale (un des opérateurs  de Pucci) et prouverons l’existence et l’unicité de solution radiale dans un anneau. Enfin nous donnerons certains résultats récents et perspectives de recherche sur les propriétés de ces équations.

Dans ce travail, nous étudions un problème de contrôle optimal impliquant un modèle simplifié pour la protection d’un champ de culture. Plus précisément, nous considérons une protection sur un champ de culture et cherchons à placer des zones d’intervention, représentées par un contrôle, afin de maximiser la protection sur le champ pendant une période donnée. En utilisant une méthode de relaxation, nous prouvons qu’il existe un contrôle qui maximise la protection et, de plus, ce contrôle doit être de type bang-bang. Par ailleurs, avec des hypothèses supplémentaires sur la géométrie du champ de culture, certains résultats sur la forme de l’intervention optimale sont démontrés en utilisant des résultats de comparaison via les symétrisations de Schwarz et de Steiner. Enfin, des simulations numériques sont réalisées pour illustrer ces résultats.

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

L’existence globale de solutions classiques est étudiée pour un modèle de chimiotactisme basé sur des interactions locales individu/signal et incluant une mobilité décroissante quand l’intensité du signal augmente. Contrairement au modèle classique de chimiotactisme de Keller-Segel, on montre qu’il n’y a pas d’explosion en temps fini. On identifie de plus une classe de mobilités pour lesquelles les solutions sont bornées (collaborations avec Jie Jiang, Wuhan et Yanyan Zhang, Shanghai).

Dans cet exposé, nous nous intéressons à une équation de convection-diffusion avec un terme non linéaire en gradient de température appelé terme “d’effet Joule”. Une méthode de volumes finis est proposée pour l’approximation numérique de la solution, dont la convergence vers une solution faible est démontrée. Nous établissons en particulier une inégalité discrète de Gagliardo-Nirenberg d’ordre deux sur laquelle la preuve s’appuie. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Caterina Calgaro et Clément Cancès.

Rencontre GDR-Calva à Nancy 13-14 décembre 2022

Site de la rencontre :  https://indico.math.cnrs.fr/event/8364/page/567-accueil

Organisateurs:  Antoine Lemenant (Nancy), Reza Pakzad (Toulon)

Gestion administrative: Virginie Lamouroux (Nancy), Valérie Gobert (Nancy)

Pour toute question veuillez contacter : Antoine.Lemenant@univ-lorraine.fr

Liste des orateurs :

Jean-François Babadjian (Paris-Saclay)

Antonin Chambolle (Paris-Dauphine)

Gisella Croce (Le Havre)

Thierry De Pauw (Paris)

Guy David (Paris Saclay)

Michael Goldman (Paris)

Ilaria Lucardesi (Florence)

Exposés courts :

Jules Candau-Tilh (Lille-Paris)

Peter Gladbach (Bonn)

Camille Labourie (Erlangen-Nuremberg)

Yana Teplitskaya (Leiden)

Résumé: Un milieu quasi-périodique est un milieu ordonné sans être périodique. Un exemple assez connu depuis le prix Nobel de Chimie 2011 est le quasi-cristal. La notion de quasi-périodicité est très bien définie dans la littérature mathématique. Pour donner une idée, une fonction quasi-périodique 1D est la trace suivant une droite donnée d’une fonction périodique de plusieurs variables. Les EDP à coefficients quasi-périodiques ont fait l’objet d’études théoriques dans le contexte de l’homogénéisation, mais il semble qu’il y ait eu beaucoup moins de travaux en dehors de ce contexte, et encore moins sur la résolution numérique de ces équations.

L’objectif de ce travail est de développer des méthodes numériques originales pour résoudre l’équation des ondes harmoniques en milieux quasi-périodiques, dans l’esprit des méthodes précédemment développées pour des milieux périodiques. L’idée est d’utiliser le fait que l’étude d’une EDP elliptique avec des coefficients quasi-périodiques se ramène à l’étude d’une EDP augmentée non-elliptique, posée en dimension supérieure, mais dont les coefficients sont périodiques. Cette approche, dite de relèvement, permet de résoudre l’EDP périodique avec des outils adaptés. Cependant, le caractère non-elliptique rend l’analyse mathématique et numérique de la méthode délicate.

Dans cet exposé, je présenterai dans un premier temps la méthode de relèvement sur un problème 1D quasi-périodique. Je discuterai ensuite de l’extension de cette méthode à un problème de transmission entre un milieu périodique et un milieu constant, lorsque l’interface ne coupe pas le milieu périodique dans une direction de périodicité. L’efficacité de l’approche sera illustrée par des résultats numériques.  

On s’intéresse à la modélisation d’un écoulement à bulles compressibles par une méthode d’homogénéisation.