PDE and applications seminar | Nancy

Je présenterai un travail en collaboration avec Thibault Lacombe, où
nous démontrons que les solutions Lipschitz $u$ de $\mathrm{div}\,
G(\nabla u)=0$ dans un domaine du plan sont $C^1$, pour des champs de
vecteurs strictement monotones $G$ dans $C^0(\mathbb R^2;\mathbb R^2)$
satisfaisant une condition d’ellipticité très générale. Lorsque le champ
de vecteurs $G$ est le gradient d’une fonction strictement convexe,
notre résultat généralise des résultats de De Silva et Savin (Duke Math.
J. 2010). Lorsque $G$ n’est pas un gradient, l’hypothèse d’ellipticité
doit être interprétée correctement, et nous produisons un exemple qui
montre l’effet non trivial de la partie antisymétrique de $\nabla G$.

L’exposé se veut une introduction à l’une des frontières actuelles de notre compréhension de la stabilité non linéaire des ondes progressives des équations aux dérivées partielles, spécifiquement comment la stabilité spectrale implique la stabilité non linéaire pour les ondes progressives générales des systèmes hyperboliques.

Les principaux obstacles à une théorie générale trouvent leur origine dans le fait que les profils des ondes comprennent typiquement des discontinuités et/ou des points caractéristiques, tous deux ayant un fort impact même au niveau spectral.

L’exposé montrera quelques avancées significatives vers une théorie générale obtenues par l’orateur dans une série de travaux en collaborations (disjointes) avec Vincent Duchêne (Rennes), Paul Blochas (Rennes), Louis Garénaux (Karlsruhe) et Grégory Faye (Toulouse).

Nous allons discuter des méthodes pour construire des mesures invariantes pour l’équation de Benjamin-Ono et le rôle joué par l’intégrabilité de cette équation dans ces constructions.

Le système point-vortex décrit la dynamique de tourbillons idéaux dans un fluide 2D incompressible et non visqueux. Lorsqu’une collision de points-vortex se produit, la dynamique devient singulière et le temps de vie maximal des solutions est atteint. Nous discuterons de ce phénomène en montrant en particulier que les trajectoires des points-vortex sont 1/2-Hölderiennes jusqu’au temps de collision. Nous verrons également comment ce résultat s’étend en présence d’un bord, ainsi que dans le contexte des fluides quasi-géostrophiques. Nous mentionnerons également un résultat d’improbabilité des collisions, ainsi que le problème ouvert de l’existence de collisions au bord d’un domaine.

L’exposé se fera en visio-conférence.

Résumé : On présente quelques résultats autour du
comportement asymptotique
d’opérateurs de convolution itérés (en une dimension d’espace). Ce
problème intervient à la
fois dans l’étude en temps grand des schémas aux différences finies pour
les équations
d’évolution ainsi que dans l’étude en temps grand des marches
aléatoires. Le but est d’obtenir
une généralisation du théorème dit de la limite locale en théorie des
probabilités, et de montrer
des bornes gaussiennes généralisées dans le cas “stable” des schémas
numériques stables pour
la norme du maximum. Il s’agit d’un travail en collaboration avec
Grégory Faye.