Differential geometry seminar

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Ligne d'étirement de Thurston pour surfaces à bord

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie différentielle Date/heure : 30 January 2023 15:30-16:30 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Valentina Disarlo Résumé :

En 1986 William Thurston a introduit une distance Lipschitz sur
l’espace de Teichmueller de surfaces fermées ou avec cusps. Avec Daniele
Alessandrini on a étendu cette théorie à l’espace de Teichmueller des
surfaces à bord géodésique. On construit une famille de géodésiques pour
l’espace de Teichmueller des surface à bord, qui généralisent les lignes
d’étirement construites par Thurston. Comme corollaire, on trouve une
nouvelle classe de géodésique dans l’espace de Teichmueller des surfaces
fermées avec la distance Lipschitz. Ce travail est en collaboration avec
Daniele Alessandrini (Columbia University).


Fonctions zêta dynamiques et torsion de Reidemeister

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie différentielle Date/heure : 23 January 2023 15:30-16:30 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Léo Bénard Résumé :
La torsion de Reidemeister est un invariant topologique, célèbre entre autres pour avoir permis de distinguer des quotients finis de la sphères S^3, les espaces lenticulaires, qui ont le même type d’homotopie mais qui ne sont pas homéomorphes. C’est un invariant subtil associé à une paire (M,\rho), pour \rho une représentation du groupe fondamental de M. En particulier il est difficile d’avoir de l’intuition sur ce que cet invariant décrit. 
 
La conjecture de Fried prédit que cet invariant est un « compte régularisé » du nombre d’orbites fermées d’un champ de vecteur  X sur M, comptées avec un poids donné par \rho.
Cette conjecture est maintenant un théorème dans de nombreux cas, majoritairement quand \rho est unitaire et X un flot géodésique.
J’expliquerai un travail en commun avec Jan Frahm et Polyxeni Spilioti, dans lequel nous avons prouvé cette conjecture pour M le fibré unitaire tangent d’une surface hyperbolique, sans hypothèses restrictives sur \rho.

Structures localement conformément produit (Locally conformally product structures)

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie différentielle Date/heure : 16 January 2023 15:30-16:30 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Brice Flamencourt Résumé :

Les structures localement conformément produit (LCP) apparaissent sur les variétés conformes compactes lorsque l’on considère une connexion qui est localement la connexion de Levi-Civita d’une métrique, mais pas globalement. Le relèvement d’une telle connexion au revêtement universel de la variété LCP est la connexion de L-C d’une métrique produit, donnant sont nom à la structure.

Dans cet exposé, on décrira les propriétés fondamentales de ces structures, et on expliquera comment se construisent les exemples connus de variétés LCP, afin d’initier une classification. On étudie certains invariants naturels, et on exhibe également un lien avec la théorie des corps de nombres.

Abstract : The locally conformally product structures (LCP) arise on compact conformal manifolds when we consider a connection which is locally but not globally the Levi-Civita connection of a metric. The lift of such a connection to the universal cover of the LCP manifold is the L-C connection of a product metric, explaining the name of this structure.

In this talk, we will expose the properties of the LCP structures and we will construct some examples of LCP manifolds in order to initiate a classification. We introduce several invariants on LCP manifolds and we show that there exists a link with number fields theory.


Séminaire Commun de Géométrie - Finitude des groupes hyperboliques

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie complexe Date/heure : 9 January 2023 14:00-16:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Gilles Courtois Résumé :
Titre:
Théorème de finitude pour les groupes hyperboliques
Résumé:
Les théorèmes de finitude en géométrie riemannienne ont une longue histoire.  En voici un
exemple particulier : “Il existe un nombre fini de variétés différentiables compactes sans bord de dimension n portant une métrique de courbure sectionnelle et diamètre Diam vérifiant -a2 ≤ Sec <0 et Diam ≤ D.
A la fin des années 80, M. Gromov a introduit une notion de courbure négative pour les espaces métriques qui englobe une classe d’espaces beaucoup plus vaste que les variétés riemanniennes. On peut alors envisager  des résultats de finitude pour ces espaces.
Le but de l’exposé est d’expliquer la notion d’espace et de groupe hyperbolique au sens de Gromov et de décrire le théorème suivant : (en collaboration avec G. Besson, S. Gallot et A. Sambusetti)
“Le nombre de groupes sans torsion, non élémentaires, δ-hyperboliques et d’entropie inférieure à H
est fini et majoré par un nombre qui dépend de δ et H.”
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Comme chaque séminaire commun de géométrie, il sera constitué d’un premier exposé de type “colloquium” de 14h à 14h45, puis d’une pause thé-gâteaux de 14h45 à 15h15, puis de la suite de l’exposé de niveau recherche de 15h15 à 16h. Venez nombreux !

Vacances - pas de séminaire

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie différentielle Date/heure : 26 December 2022 00:00-00:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Résumé :

Vacances - pas de séminaire

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie différentielle Date/heure : 19 December 2022 00:00-00:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Résumé :

Comportement asymptotique des espaces-temps spatialement homogènes

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie différentielle Date/heure : 12 December 2022 15:30-16:30 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : François Béguin Résumé :

Les espaces-temps spatialement homogènes sont des modèles d’univers en Relativité Générale, où l’équation d’Einstein se réduit à une équation différentielle sur l’espace des métriques invariantes à gauche sur un groupe de Lie. J’expliquerai comment expliciter cette équation différentielle, puis comment l’étudier. Nous verrons que sa dynamique est étonnament riche et complexe. Mon but final sera de présenter un résultat de T. Dutilleul et moi-même qui affirme — en simplifiant grossièrement — que, si on choisit un espaces-temps spatialement homogène « au hasard », alors, avec une probabilité positive, la courbure de cet espace-temps oscille de manière chaotique quand on s’approche de sa singularité initiale.


Séminaire Commun de Géométrie - Régularité C^1 pour les minimiseurs du problème de Griffith

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie complexe Date/heure : 5 December 2022 14:00-16:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Antoine Lemenant Résumé :

Le problème de Griffith est un problème où l’on minimise la mesure de surface d’un certain “ensemble de discontinuité libre” qui intervient dans un modèle de propagation de fissure en élasticité linéarisée. Il s’agit d’une variante vectorielle de la célèbre fonctionnelle de Mumford-Shah, correspondant au cas scalaire et pour laquelle la régularité des minimiseurs est bien connue depuis les années 90. L’analogue vectoriel (Griffith) est beaucoup plus difficile à appréhender en raison de problèmes techniques que l’on tentera d’expliquer. Cependant, certains résultats partiels de régularité C^1 qui ont été obtenus récemment en collaboration avec Jean-François Babadjian (Paris-Saclay) et Flaviana Iurlano (Sorbone Université) en dimension 2, puis généralisés en dimension supérieure en collaboration avec Camille Labourie (Erlangen-Nuremberg). Le but final de l’exposé sera de présenter ces résultats récents. Avant cela, dans une première partie, nous présenterons un panorama rapide de la théorie de régularité classique en partant du problème de Plateau, puis en faisant le lien avec ce qui est connu (ou encore ouvert) sur Mumford-Shah, pour enfin aboutir à Griffith dans une seconde partie de l’exposé.


Totally umbilic surfaces in hyperbolic 3-manifolds of finite volume

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie différentielle Date/heure : 28 November 2022 15:30-16:30 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Alvaro Ramos Résumé :
Let S be a connected surface with finite negative Euler characteristic and let H be a real number with absolute value less than one.
In this talk we show that S appears as a properly embedded, totally umbilic surface with mean curvature H in a hyperbolic 3-manifold of finite volume.
Conversely, a complete, totally umbilic surface with mean curvature H, embedded in a hyperbolic 3-manifold of finite volume
must be proper and have finite, negative Euler characteristic.
Joint work with Colin Adams and William Meeks.

Problème isodiamétrique, densité et rectifiabilité

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie différentielle Date/heure : 21 November 2022 15:30-16:30 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Antoine Julia Résumé :

Un ensemble de l’espace euclidien est rectifiable s’il peut être couvert presque entièrement par des sous-variétés de classe $C^1$, ce qui permet de l’étudier avec des outils d’analyse. Une propriété importante de tels ensembles est que leur mesure de Hausdorff a densité égale à 1 presque partout.
Mon exposé portera sur la question opposée : est-ce que la densité  implique la rectifiabilité ?
Le problème est ouvert dans les espaces métriques généraux et assez lié au
problème isodiamétrique : c’est-à-dire de trouver l’ensemble de volume maximal parmi les ensembles de diamètre fixé. Je donnerai une réponse dans le cas des groupes de Lie homogènes qui sont des modèles naturels pour la question. (C’est un travail en commun avec Andrea Merlo.)


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