Differential geometry seminar

Le flot des repères des variétés à courbure sectionnelle négative est l’un des premiers exemples historiques de dynamique partiellement hyperbolique. Il est connu que ce flot est ergodique sur les variétés hyperboliques, et les variétés de dimension impaire non égale à 7 ; à l’inverse, ce flot n’est pas ergodique sur les variétés kähleriennes (e.g. variétés hyperboliques complexes). Brin a donc naturellement conjecturé dans les années 70 que les variétés paires à courbure 1/4-pincées devaient avoir un flot des repères ergodiques mais cette question est encore aujourd’hui très largement ouverte. Dans cet exposé, j’expliquerai de récents progrès obtenus sur cette conjecture : je montrerai que les variétés de dimension 4k+2 (resp. 4k) et ~0.27-pincées (resp. ~0.55) ont un flot des repères ergodique. Cette nouvelle approche combine essentiellement trois outils : 1) des outils de dynamique hyperbolique (groupe de transitivité, représentation du monoïde de Parry), 2) la topologie des groupes de structure sur les sphères, 3) de l’analyse harmonique sur le fibré unitaire tangent (identités de Pestov et/ou de Weitzenböck tordues). Travail en commun avec Mihajlo Cekić, Andrei Moroianu, Uwe Semmelmann.

On peut obtenir un tore en recollant abstraitement les deux paires de côtés opposés d’un carré, sans le déformer. Un tel tore vient alors naturellement fourni d’une métrique à courbure constante nulle, c’est pourquoi on l’appelle tore plat carré. Cette construction se généralise en prenant n’importe quel parallélogramme à la place du carré. Modulo une relation d’équivalence, tous les tores plats vivent alors sur la courbe modulaire.

Dans cet exposé, je présenterai une construction assez simple qui permet d’obtenir tous les tores de la courbe modulaire comme des polyèdres et j’esquisserai une demonstration de ce fait. Je présenterai aussi des variations de la construction qui permettent d’obtenir des exemples de réalisations polyédrales de surfaces de translation.Ceci est un travail en collaboration avec Samuel Lelièvre (Orsay) et Pierre Arnoux (Marseille).

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Comme tous les “Séminaires communs de géométrie”, ce séminaire comprend deux séances : de 14h à 15h45, un exposé “colloquium” s’adressant à tous les mathématiciens, puis de 15h15 à 16h un exposé  “recherche” qui approfondira ce qui aura été présenté au premier exposé.

Paracausal deformations of Lorentzian metrics and their consequences in quantum field theory

It is well-known that the space of Riemannian metrics on a smooth manifold is path-connected. Indeed, the convex combination of Riemannian metrics produces a Riemannian metric. This is not true, for the space of Lorentzian metric and a natural question pop up: Are there some natural operations that can be used to produce Lorentzian metrics starting from Lorentzian metrics?

This talk aims to provide sufficient conditions for some kind of linear combination of Lorentzian metrics to be a Lorentzian metric. In particular, the notion of paracausal deformation of a Lorentzian metric will be introduced and discussed in detail. After few characterizations, I will discuss shortly the consequences in quantum field theory.

Les surfaces de Ricci sont les surfaces dont la métrique satisfait la condition KΔK + g(dK,dK) +4K^3=0. Ces surfaces sont premièrement étudiées par A. Moroianu et S. Moroianu. Ils ont démontré que les surfaces de Ricci permettent localement des immersions minimales dans R^3. On va donner quelques résultats de classification des surfaces de Ricci avec des bouts caténoïdaux en utilisant une analogue de la représentation de Weierstrass.

Energy conditions are a major ingredient for the famous singularity theorems of General Relativity. In this talk we want to study one of them from the perspective of initial data sets: An embedded spacelike hypersurface of a Lorentzian manifold carries an induced Riemannian metric $g$ and a second fundamental form $k$. The dominant energy condition implies that the pairs $(g, k)$ arising in this way satisfy a certain inequality that generalizes the condition of non-negative scalar curvature of $g$ in the case $k = 0$. As for non-negative (or positive) scalar curvature, index theoretic methods can be used to study the (strict) dominant energy condition for initial data sets. In this context Dirac-Witten operators serve as the appropriate replacement for Dirac operators.

Nous allons nous intéresser aux espaces métriques injectifs, où toute famille de boules s’intersectant deux à deux s’intersecte globalement, ainsi qu’à leur contrepartie discrète que sont les graphes de Helly. L’étude des actions de groupes sur de tels espaces permet d’en déduire de nombreuses propriétés typiques de la courbure négative. Nous montrerons que les espaces symétriques classiques peuvent être munis d’une métrique injective, tandis que les immeubles de Bruhat-Tits classiques peuvent être munis d’une structure de graphe de Helly.

Après avoir introduit le groupe de Cremona j’expliquerai comment on peut étudier ses sous-groupes résolubles et les plongements du groupe de Heisenberg dans celui-ci.

Les catégories de Fukaya sont des catégories A_infini dont les objets sont les sous-variétés lagrangiennes d’une variété symplectique ; trouver un système générateur pour celles-ci permet d’extraire de l’information fine sur la topologie de ces sous-variétés lagrangiennes. Dans cet exposé j’introduirai les notions de base du sujet (sous-variétés lagrangiennes, catégories A-infini, systèmes générateurs …) dans le cadre des variétés de Weinstein (qui contient le cas des fibrés cotangents). Je décrirai ensuite un système de générateurs dans ce contexte et expliquerai comment celui-ci peut-être utilisé pour permettre des calculs explicites d’invariants des sous-variétés lagrangiennes afin d’étudier leur topologie. C’est une combinaison de divers travaux dont certains en collaboration avec G. Dimitroglou-Rizell, P. Ghiggini et R. Golovko.

Des travaux de A. Fraser et R. Schoen ont récemment relancé l’intérêt pour les surfaces minimales à bord libre. De nombreux exemples de surfaces minimales à bord libre dans la boule unité ont notamment été construits. De telle surfaces ne sont jamais des minimums de la fonctionnelle d’aire, et on quantifie combien elles sont loin d’être des minimums à l’aide d’un nombre entier, l’indice de Morse. Dans cet exposé, je présenterai des résultats concernant l’indice de Morse des surfaces minimales à bord libre dans la boule unité ; une question ouverte est notamment de classifier de telles surfaces de petit indice.