Differential geometry seminar

IPVTs and applications

I will discuss limits in low intensity of Poisson-Voronoi tessellations, which we called ideal Poisson-Voronoi tessellations (IPVTs).

In the colloquium part, I will focus on the IPVT of real hyperbolic space of dimension d, where a simple Poissonian description of the cell containing the origin enables an in-depth study of the geometric features of its tiles.

In the research seminar part, I will discuss sufficient conditions for convergence toward IPVTs in a general metric space, and illustrate them for the Cartesian product of two hyperbolic planes endowed with the $L^1$ metric. Then I will discuss an application to proving the smallness of the uniqueness threshold of Poisson/Bernoulli–Voronoi percolation on spaces with a non-amenable product structure.

Based on joint works with Nicolas Curien, Nathanaël Enriquez, Russell Lyons, Meltem Ünel (2303.16831, to appear on The Annals of Probability), on 2412.00822, and on incoming works with Ali Khezeli and with Jan Grebik, Ali Khezeli, Konstantin Recke, and Amanda Wilkens.

An important family of solutions to the Einstein vacuum equations is given by the Kerr metrics, which describe rotating black holes. In this talk, I will present some important geometric properties of these spacetimes relevant to the study of classical field equations such as the scalar waves, electromagnetism and linearized gravity. As observed by Teukolsky, by exploiting a special algebraic property of the spacetime, it is possible to decouple certain components of the fields from the rest of the system, leading to the so-called Teukolsky equation. Solutions of this equation can then be analyzed to recover information about the full system.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/events/titre-a-venir-99/

Séminaire reporté en 2022-2023. Date précisée ultérieurement.

Comme tous les “Séminaires communs de géométrie”, cet exposé est constitué de deux parties, la première de 14h à 14h45 pour un large public, la seconde de 15h15 à 16h pour un public plus intéressé. Entre les deux, une pause “thé-gâteaux” est offerte par l’équipe de géométrie

Première partie : Construction de surfaces minimales : approche variationnelle.

Résumé : Après avoir expliqué ce que sont les surfaces minimales, je présenterai quelques éléments de l’approche variationnelle qui peut être utilisée pour en construire.

Partie spécialisée : Rigidité des variétés riemanniennes contenant un équateur

résumé : Si une métrique sur la sphère S^{^2} à courbure comprise entre 0 et 1 possède une géodésique de longueur 2\pi, alors la courbure est constante égale à 1. Ce résultat de rigidité est dû à Calabi. En dimension 3 et sous les mêmes hypothèses de courbure sectionnelle, l’existence d’une sphère minimale d’aire 4\pi rigidifie aussi la métrique. Ce résultat a été obtenu dans un travail précédent avec H. Rosenberg. Dans cet exposé je présenterai comment ce travail peut être généralisé en codimension supérieure. Je donnerai aussi comme conséquence un théorème de rigidité pour le “width” de Simon-Smith.

Les variétés de Robinson sont des variétés pseudoriemanniennes que l’on peut réaliser comme fibrés en droites (ou cercles) au dessus de variétés CR. Ces variétés sont présentes dans l’étude des solutions exactes de la relativité générale et plus précisément dans les métriques de type trou noir (Kerr, Taub-Nut). Après avoir présenté ces variétés et donné quelques exemples, nous introduirons dans cet exposé une connexion métrique (différente de la connexion de Levi-Civita) adaptée à l’étude de la géométrie de ces variétés.

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Je parlerai d’un projet en commun avec Maxime Fortier Bourque sur des problèmes extrémaux en géométrie hyperbolique. Les problèmes qui nous intéressent sont des analogues hyperboliques de problèmes classiques en géométrie euclidienne, comme le problème de la densité maximale des empilements de sphères et le problème du nombre de contact. L’objectif de l’exposé sera d’expliquer comment on peut utiliser la formule de trace de Selberg – une formule qui relie les longueurs des géodésiques sur une variété hyperbolique au spectre du Laplacien de cette variété – pour attaquer ces problèmes.

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Comme chaque “séminaire commun de géométrie”, une première partie de 14h à 14h45 sera un exposé d’introduction au sujet de type colloquium, suivi d’une pause thé-gateaux de 14h45 à 15h15 et de la suite de l’exposé de 15h15 à 16h.

En 1977, Milnor a formulé la conjecture suivante : tout groupe discret de transformations affines agissant proprement sur l’espace affine est virtuellement résoluble. On sait maintenant que cet énoncé est faux ; l’objectif est à présent de mieux cerner les contre-exemples à cette conjecture. Il y a deux ans, j’ai présenté au séminaire de Géométrie Différentielle une méthode permettant de construire un très grand nombre de tels contre-exemples.

Cette fois-ci, d’une part, je vais au contraire me concentrer sur les cas particuliers dans lesquelles la conjecture de Milnor est vérifiée. Je vais expliquer dans quels cas je sais la démontrer, et quels sont les obstacles à surmonter pour couvrir les cas restants.

Je vais également évoquer les possibles critères de propreté de l’action d’un groupe discret affine fixé.

On se place dans l’espace des chambres de Weyl d’un espace symétrique de rang supérieur, ce qui correspond dans le cas d’une surface hyperbolique à son fibré unitaire tangent. Dans le cas compact ainsi que pour les orbivariétés qui sont des revêtements finis de SL(d,ZZ)\SL(d,IR), l’espace des chambres de Weyl contient des tores plats. Cela correspond, dans le cas des surfaces
hyperboliques aux orbites fermées du flot géodésique. Je vais vous présenter un résultat d’équidistribution et de comptage de ces tores plats périodiques, obtenus en collaboration avec Jialun Li.