Differential geometry seminar

La méthode conforme et ses variantes sont les principaux outils pour résoudre les équations de contrainte d’Einstein et ont été très fructueuses dans la construction de grandes familles de données initiales. Cependant, contrairement à ce que son nom suggère, cette méthode n’est pas covariante conforme. Je vais clarifier ce point en exposant un exemple explicite montrant qu’elle ne peut en aucun cas être covariante et j’expliquerai exactement pourquoi un tel échec est un problème.

Une surface à bord (ici le disque) est minimale à bord libre dans une surface $S$ de $R^3$ si c’est une surface minimale qui rencontre S orthogonalement le long du bord. Bien sûr, les disques équatoriaux, qui sont plans, satisfont cette propriété sur les ellipsoïdes. Nous montrons l’existence de disques non plans minimaux à bord libre plongés dans des ellipsoïdes $R^3$. C’est une réponse à une question posée par Dierkes, Hildebrandt, Küster et Wohlrab en 1992. Le résultat est comparable à la réponse récente d’une question de Yau en 1987 par Haslhofer et Ketover en 2019 : il existe des sphères minimales plongées non équatoriales dans des ellipsoïdes de $R^4$ suffisamment allongés. 

Pour montrer ce résultat, nous utilisons une caractérisation des immersions minimales d’une surface à bords dans des ellipsoïdes comme objets critiques de fonctionnelles qui combinent des valeurs propres de Steklov dépendant d’une métrique Riemannienne sur la surface. Nous obtenons ces disques non plans par maximisation de combinaisons linéaires de la première et seconde valeur propre de Steklov bien choisies parmi les métriques du disque à périmètre fixé. Nous expliquerons pourquoi nous construisons également des disques plongés par cette méthode.

Métriques kählériennes canoniques et éclatements

L’existence de métriques kählériennes canoniques (Kähler-Einstein, à courbure scalaire constante, etc…) dans une classe de cohomologie donnée d’une variété kählérienne compacte admet une formulation variationnelle comme équation d’Euler-Lagrange de certaines fonctionnelles. Grâce aux travaux profonds de Darvas-Rubinstein et Chen-Cheng, on sait que de plus qu’elles admettent des points critiques (donc des métriques canoniques) ssi elles satisfont une condition de croissance linéaire. Après avoir passé en revue ces objets fondamentaux, j’expliquerai comment cette caractérisation permet de généraliser des travaux d’Arezzo-Pacard et Seyyedali-Szekelyhidi portant sur la stabilité de telles métriques par éclatement de la variété. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Mattias Jonsson et Antonio Trusiani.

Une surface presque-fuchsienne est une surface minimale dans une variété hyperbolique, dont la seconde forme fondamentale est majorée par 1. Dans ce cas, elle est plongée et on peut identifier la variété hyperbolique ambiante avec le fibré normal à notre surface. Cela amène à l’étude des représentations presque-fuchsiennes de groupes de surfaces dans Isom(ℍn)\mathrm{Isom}(\mathbb H^n), qui admettent un disque presque-fuchsien équivariant. On discutera d’abord du cas de Isom(ℍ3)\mathrm{Isom}(\mathbb H^3), dans lequel les représentations presque-fuchsienne forment un voisinage connexe de l’ensemble des représentations fuchsiennes, et ensuite nous verrons un exemple dans ℍ4\mathbb H^4, pour lequel la variété hyperbolique quotient est un fibré en disques de degré 1 sur une surface.

Je parlerai d’un travail en cours avec Romain Petrides de l’Université Paris Cité dans lequel nous proposons un cadre général permettant de déduire de façon systématique les propriétés géométriques de métriques critiques de fonctionnelles spectrales définies sur une variété compacte lisse donnée. Notre approche permet notamment d’étendre les travaux de Nadirashvili, El Soufi, Ilias, Petrides sur la maximisation des valeurs propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami et ceux de Fraser, Schoen et Petrides sur les valeurs propres de Steklov. Nous utilisons de façon cruciale les outils d’analyse non-lisse développé par Clarke dans les années 1970. Je présenterai ces outils et expliquerai comment on les adapte au contexte des métriques critiques de fonctionnelles spectrales.

Mondino-Nguyen ont montré en 2018 que l’énergie de Willmore est essentiellement la seule fonctionnelle, définit pour des surfaces fermées de l’espace euclidien de dimension 3, qui soit invariante par transformations conformes. Motivés par la correspondance AdS/CFT, diverses généralisations des surfaces de Willmore ont été étudiées pour des hypersurfaces fermées de l’espace euclidien de dimension 5. Cependant, le nombre de fonctionnelles invariantes conformes pour des variétés de dimension 4 est beaucoup plus important qu’en dimension 2. En particulier, cette diversité complique le choix d’une généralisation convenable.

En dimension 2, la dualité de Bryant est un outil important de l’étude des surfaces de Willmore. Elle permet d’exhiber une quartique holomorphe, de classifier les sphères Willmore, de construire l’équivalent des données d’Enneper-Weierstrass pour les surfaces minimales… Dans cette présentation, nous verrons qu’une généralisation de cette dualité en dimension 4 permet de mettre en exergue deux fonctionnelles invariantes conformes.