Differential geometry seminar

An important family of solutions to the Einstein vacuum equations is given by the Kerr metrics, which describe rotating black holes. In this talk, I will present some important geometric properties of these spacetimes relevant to the study of classical field equations such as the scalar waves, electromagnetism and linearized gravity. As observed by Teukolsky, by exploiting a special algebraic property of the spacetime, it is possible to decouple certain components of the fields from the rest of the system, leading to the so-called Teukolsky equation. Solutions of this equation can then be analyzed to recover information about the full system.

Métriques kählériennes canoniques et éclatements

L’existence de métriques kählériennes canoniques (Kähler-Einstein, à courbure scalaire constante, etc…) dans une classe de cohomologie donnée d’une variété kählérienne compacte admet une formulation variationnelle comme équation d’Euler-Lagrange de certaines fonctionnelles. Grâce aux travaux profonds de Darvas-Rubinstein et Chen-Cheng, on sait que de plus qu’elles admettent des points critiques (donc des métriques canoniques) ssi elles satisfont une condition de croissance linéaire. Après avoir passé en revue ces objets fondamentaux, j’expliquerai comment cette caractérisation permet de généraliser des travaux d’Arezzo-Pacard et Seyyedali-Szekelyhidi portant sur la stabilité de telles métriques par éclatement de la variété. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Mattias Jonsson et Antonio Trusiani.

Une surface presque-fuchsienne est une surface minimale dans une variété hyperbolique, dont la seconde forme fondamentale est majorée par 1. Dans ce cas, elle est plongée et on peut identifier la variété hyperbolique ambiante avec le fibré normal à notre surface. Cela amène à l’étude des représentations presque-fuchsiennes de groupes de surfaces dans Isom(ℍn)\mathrm{Isom}(\mathbb H^n), qui admettent un disque presque-fuchsien équivariant. On discutera d’abord du cas de Isom(ℍ3)\mathrm{Isom}(\mathbb H^3), dans lequel les représentations presque-fuchsienne forment un voisinage connexe de l’ensemble des représentations fuchsiennes, et ensuite nous verrons un exemple dans ℍ4\mathbb H^4, pour lequel la variété hyperbolique quotient est un fibré en disques de degré 1 sur une surface.

Je parlerai d’un travail en cours avec Romain Petrides de l’Université Paris Cité dans lequel nous proposons un cadre général permettant de déduire de façon systématique les propriétés géométriques de métriques critiques de fonctionnelles spectrales définies sur une variété compacte lisse donnée. Notre approche permet notamment d’étendre les travaux de Nadirashvili, El Soufi, Ilias, Petrides sur la maximisation des valeurs propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami et ceux de Fraser, Schoen et Petrides sur les valeurs propres de Steklov. Nous utilisons de façon cruciale les outils d’analyse non-lisse développé par Clarke dans les années 1970. Je présenterai ces outils et expliquerai comment on les adapte au contexte des métriques critiques de fonctionnelles spectrales.

Mondino-Nguyen ont montré en 2018 que l’énergie de Willmore est essentiellement la seule fonctionnelle, définit pour des surfaces fermées de l’espace euclidien de dimension 3, qui soit invariante par transformations conformes. Motivés par la correspondance AdS/CFT, diverses généralisations des surfaces de Willmore ont été étudiées pour des hypersurfaces fermées de l’espace euclidien de dimension 5. Cependant, le nombre de fonctionnelles invariantes conformes pour des variétés de dimension 4 est beaucoup plus important qu’en dimension 2. En particulier, cette diversité complique le choix d’une généralisation convenable.

En dimension 2, la dualité de Bryant est un outil important de l’étude des surfaces de Willmore. Elle permet d’exhiber une quartique holomorphe, de classifier les sphères Willmore, de construire l’équivalent des données d’Enneper-Weierstrass pour les surfaces minimales… Dans cette présentation, nous verrons qu’une généralisation de cette dualité en dimension 4 permet de mettre en exergue deux fonctionnelles invariantes conformes.

The Steklov eigenvalue problem is an eigenvalue problem for an operator which is defined in the boundary of a domain. Since the operator is nonlocal, the eigenvalues depend on both the geometries of the interior and the boundary of the domain. In this talk, we consider the Steklov-Dirichlet eigenvalue problem in eccentric annuli and related problems. We obtain a lower bound of the first Steklov-Dirichlet eigenvalues of the eccentric annuli by analyzing the first eigenvalues if the distance between the boundary components are sufficiently close. This is based on joint work with Jiho Hong and Mikyoung Lim.

Géométries de Hilbert et Funk, les mondes engloutis des convexes

Le model de Klein ou projectif de la géométrie hyperbolique se définit à l’aide de la convexité de la boule euclidienne et le birapport. Hilbert fera remarquer à Klein que sa construction permet de définir de nouvelles géométries à l’intérieur de n’importe quel convexe.
Elle est fortement lié à une autre géométrie de nature affine, dite de Funk. Je me propose de vous faire une introduction à ces géométries et vous mener jusqu’à quelques résultats récents obtenus avec Faifman et Walsh qui relient la croissance volumique de ces géométries aux conjectures de Mahler et Kalaï.