Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

Considering partial character sums as defining a family of random processes (by choosing the characters randomly from some set), it becomes natural to ask questions about the limiting distribution. I’ll describe this in some contexts and give examples of what we can find in the support. This is largely work of Ayesha Hussain, but also some joint work.

Soit P un polynôme à coefficients entiers, unitaire, irréductible, de degré 4 et de groupe de Galois diédral ou cyclique.
Il existe c = c(P) > 0, tel que P(n) ait un facteur premier supérieur à n^1+c pour une proportion positive d’entiers n.

Il s’agit d’un travail  avec James Maynard.

Répétition du séminaire Bourbaki du vendredi 1er avril.

Chebyshev famously observed empirically that more often than not, there are more primes of the form 3 mod 4 up to x than primes of the form 1 mod 4. This was confirmed theoretically much later by Rubinstein and Sarnak in a logarithmic density sense. Our understanding of this is conditional on the generalized Riemann Hypothesis as well as Linear Independence of the zeros of L-functions.

We investigate similar questions for sums of two squares in arithmetic progressions. We find a significantly stronger bias than in primes, which happens for almost all integers in a natural density sense. Because the bias is more pronounced, we do not need to assume Linear Independence of zeros, only a Chowla-type Conjecture on non-vanishing of L-functions at 1/2.

We’ll aim to be self-contained and define all the notions mentioned above during the talk. We shall review the origin of the bias in the case of primes and the work of Rubinstein and Sarnak. We’ll explain the main ideas behind the proof of the bias in the sums-of-squares setting.

Récemment, Lemke Oliver et Soundararajan ont observé d’importants biais dans la répartition de couples de nombres premiers consécutifs dans les progressions arithmétiques. Ils ont proposé un modèle heuristique basé sur la conjecture de Hardy–Littlewood qui explique très bien ces observations.
Nous discuterons la question analogue pour les nombres qui s’écrivent comme une somme de deux carrés d’entiers. Un biais semblable apparaît dans les données et nous développons un modèle heuristique similaire pour l’expliquer.
Travail joint avec Chantal David, Jungbae Nam et Jeremy Schlitt.

A celebrated theorem of Green-Tao asserts that the set of primes contains arbitrarily long arithmetic progressions. In fact, they count asymptotically the number of -term arithmetic progressions in primes up to a threshold. Their work involves discorrelation estimates between primes and nilsequences, which imply that the set of primes is Gowers uniform. In this talk I will discuss results of this type for primes restricted to short intervals and in arithmetic progressions. For example, we prove that the set of primes in   with is Gowers uniform; we also prove that, for almost all , the set of primes up to in a coprime residue class is Gowers uniform. This is based on joint works with K. Matomäki, J. Teräväinen, T. Tao.

Les polynômes de Fekete sont certains polynômes de type Littlewood dont les coefficients sont les valeurs du symbole de Legendre, ou plus généralement du symbole de Kronecker. Ces polynômes ont été considérés par Fekete afin d’étudier les zéros réels des fonctions L de Dirichlet, et d’essayer de démontrer la non-existence des fameux zéros de Siegel. Depuis lors, leurs zéros et la répartition de leurs valeurs ont été intensivement étudiés. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents concernant les zéros réels des polynômes de Fekete. Je discuterai également de certaines applications de ces résultats, notamment aux changements de signes des sommes partielles de sommes de caractères quadratiques. Ceci est un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.

Dans un travail en commun avec Michael Kaminski et Igor Shparlinski (arXiv:2110.04657), nous donnons des exemples explicites d’ensembles de $m$ formes linéaires en $n$ variables sur le corps des nombres rationnels, dont le calcul nécessite $m(n-1)$ additions.

On s’intéresse à des sommes exponentielles habituellement indexées par un système de représentants
des entiers inversibles modulo p, ou des inversibles modulo une puissance d’un nombre premier p.
Cependant, au lieu de regarder ces sommes complètes, on les restreint en les indexant seulement
par un sous-groupe d’ordre d fixé. Lorsque p tend vers l’infini en respectant certaines conditions de
congruence qui assurent l’existence d’un unique sous-groupe d’ordre d, on démontre que nos
familles de sommes exponentielles s’équirépartissent dans certaines régions du plan complexe
décrites comme l’image d’un tore par un polynôme de Laurent relativement explicite. Dans un second temps, on montre que l’on peut également restreindre le paramètre indexant la famille de sommes à ne parcourir que de très petits sous-groupes des classes inversibles modulo p, sans affecter le résultat d’équirépartition.