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Ensembles de Sidon
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 14 octobre 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Robin Riblet (IECL) Résumé :Un ensemble de Sidon d’un semi-groupe est un ensemble dont toutes les sommes de deux éléments sont distinctes. Des travaux de Bose, Chowla et Erdős établissent que le cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans un intervalle d’entiers de cardinal $n$ est équivalent à $\sqrt{n}$. Nous nous intéresserons au cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans l’union (de cardinal $n$) de deux intervalles. Un résultat d’Abbott affirme qu’il est supérieur à $0,0805\sqrt{n}$. Nous améliorerons cette borne et prouverons que ce cardinal est en fait supérieur à $0,8444\sqrt{n}$. Nous parlerons également d’autres résultats à propos des ensembles de Sidon et d’une de leurs généralisations : les ensembles $B_2[g]$.
Approximation rationnelle des nombres sturmiens
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 30 septembre 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Yann Bugeaud Résumé :Soient $\theta$ et $\rho$ des nombres réels avec $0 \le \theta, \rho < 1$ et $\theta$ irrationnel. Pour $n \ge 1$, posons $$ s_n := s_n (\theta, \rho) = \big\lfloor n \theta + \rho \big\rfloor – \big\lfloor (n-1) \theta + \rho \big\rfloor $$ Alors, le mot infini $$ {\bf s}_{\theta, \rho} := s_1 s_2 s_3 \ldots $$ est le mot sturmien (inférieur) de pente $\theta$ et d’intercept $\rho$, écrit sur l’alphabet $\{0, 1\}$. Nous explicitons le développement en fraction continue du nombre réel $$ \xi_{b, \theta, \rho} = (b-1) \, \sum_{n \ge 1} \, {s_n (\theta, \rho) \over b^n}. $$ Cela nous permet d’obtenir une formule donnant son exposant d’irrationalité en fonction de $\theta$ et du développement d’Ostrowski de $\rho$ en base $\theta$. Nous étendons ainsi un résultat classique de Böhmer (1927) qui ne couvre que le cas où $\rho = \theta$ et contient par exemple la surprenante égalité $$ \sum_{j \ge 1} {1 \over 2^{\lfloor j \gamma \rfloor} } = [0; 1, 2, 2, 2^2, 2^3, 2^5, 2^8, 2^{13}, 2^{21}, \ldots ], \quad \gamma = {1 + \sqrt{5} \over 2}. $$ Il s’agit d’un travail en commun avec Michel Laurent.
Factorisations des normes d'entiers algébriques et suites à somme nulle avec poids
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 1 juillet 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Schmid Wolfgang Résumé :Soit $O_K$ l’anneau d’entiers algébriques d’un corps de nombres. Pour $a \in O_K \setminus \{0\}$ soit $N(a)$ la norme absolue de $a$, et $M = \{N(a) \colon a \in O_K \setminus \{0\} \}$. Il est bien connu que $M$ est un sous-semi-groupe multiplicatif de $\mathbb{N}^{\ast}$. Nous essayons de comprendre l’arithmétique de ces semi-groupes. Cela nous amène à étudier des suites à somme nulle pondérée sur des groupes abéliens finis.
Travaux en commun avec Safia Boukheche, Kamil Merito et Oscar Ordaz.
Small prime power residues modulo $p$
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 20 mai 2021 14:45-15:45 Lieu : Salle de séminaire de Théorie des Nombres virtuelle Oratrice ou orateur : Kübra Benli Résumé :Let $p$ be a prime number. For each positive integer $k\geq 2$, it is widely believed that the smallest prime that is a $k$th power residue modulo $p$ should be $O(p^{\epsilon})$, for any $\epsilon>0$. Elliott proved that such a prime is at most $p^{\frac{k-1}{4}+\epsilon}$, for each $\epsilon>0$. In this talk we discuss the distribution of prime $k$th power residues modulo $p$ in the range $[1, p]$, with a more emphasis on the subrange $[1,p^{\frac{k-1}{4}+\epsilon}]$ for $\epsilon>0$.
Deux applications du théorème de Macaulay à la Combinatoire additive
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 22 avril 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle de séminaire de Théorie des Nombres virtuelle Oratrice ou orateur : Shalom Eliahou (Université du Littoral) Résumé :Un théorème classique de Macaulay en Algèbre commutative (1927) caractérise les fonctions de Hilbert des algèbres graduées standard. Ce théorème a des conséquences remarquables en Combinatoire additive, comme cela n’a été observé que tout récemment. L’objet de l’exposé est de montrer deux telles applications, sur la conjecture de Wilf portant sur les semigroupes numériques, et sur la croissance des ensembles sommes itérés dans un groupe abélien.
Répartition des fonctions multiplicatives dans les progressions arithmétiques de grands modules et applications
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 15 avril 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle de séminaire de Théorie des Nombres virtuelle Oratrice ou orateur : Gérald Tenenbaum (IECL) Résumé :Multiplicative orders mod $p$
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 8 avril 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle de séminaire de Théorie des Nombres virtuelle Oratrice ou orateur : Paul Pollack (University of Georgia) Résumé :I will survey what is known about the distribution of the orders of integers mod $p$, as $p$ varies. Particular attention will be paid to problems of the following sort: For fixed $a$ and $b$, how do the order of $a$ mod $p$ and the order of $b$ mod $p$ compare, as $p$ varies? The proofs will draw from the elementary, algebraic, and analytic strands of number theory. (So hopefully something for everyone!)
Modular zeros in the character table of the symmetric group
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 1 avril 2021 15:30-16:30 Lieu : Salle de séminaire de Théorie des Nombres virtuelle Oratrice ou orateur : Sarah Peluse (IAS/Princeton) Résumé :An approximate form of Artin's holomorphy conjecture and nonvanishing of Artin L-functions
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 18 mars 2021 15:30-16:30 Lieu : Salle de séminaire de Théorie des Nombres virtuelle Oratrice ou orateur : Asif Zaman (University of Toronto) Résumé :On computing $L’/L(1,\chi)$ and related problems
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 11 mars 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle de séminaire de Théorie des Nombres virtuelle Oratrice ou orateur : Alessandro Languasco Résumé :We first describe an efficient algorithm to compute
$L’/L(1,\chi)$, where $\chi$ is a non-principal Dirichlet character
mod q, and q is an odd prime. We then discuss
some results on the distribution of
$m_q := \min_{\chi\ne \chi_0} \vert L’/L(1,\chi) \vert $
and about the Euler-Kronecker constants for cyclotomic fields.