Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

Le lemme de Hensel pour les fonctions polynomiales $p$-adiques $f: \mathbb{Z}_p\rightarrow \mathbb{Z}_p$ permet de déduire l’existence d’une solution de $f(x)=0$ à partir de l’existence d’une solution approchée. E. Y. Axelsson et A. Khrennikov (2016) ont étendu le lemme de Hensel aux fonctions $1$- et $p^\alpha$-Lipschitz et ont posé la question concernant une généralisation de leur résultat aux fonctions continues $p$-adiques générales. L’objet de cet exposé est de présenter cette généralisation, obtenue dans un travail récent en collaboration avec H. Kaneko.

Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d’intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
$$
\overleftarrow{k} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j\,2^{n-1-j}
\quad
\mbox{ où }
\quad
k = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j} \,2^j
$$
avec $\varepsilon_j \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $ \varepsilon_{n-1} = 1$. Une question naturelle est d’estimer le nombre de nombres premiers $p\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l’ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi d’obtenir une bonne minoration du nombre de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers (comptés avec multiplicité). Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres entiers $k\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

Il s’agit d’un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.

Soient $N\geq 1$ et $\chi_1,…,\chi_N$ des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts, de conducteur $q_1$, …, $q_N$ respectivement. Posons

\[F(s):=\sum_{j=1}^N c_j\varepsilon_jq_j^{s/2}L(s,\chi_j),\]

où $(\varepsilon_j)$ sont des complexes de module 1 tels que $F$ satisfasse une équation fonctionnelle et $c_j\in\mathbb R^*$. Nous distinguons les zéros de $F$ en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale $V$. Nous notons $N(T)$ le nombre de zéros de $F$ dans le rectangle $\{z\in V:\Im(z)\in[0,T]\}$ et $N_0(T)$ le nombre de ces zéros étant sur la droite critique.

A la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d’un raisonnement prouvant qu’une proportion positive de zéros non-triviaux de $F$ sont sur la droite critique, en établissant que

\[\kappa_F:=\liminf_T\frac{N_0(2T)-N_0(T)}{N(2T)-N(T)}\geq \frac c{N^2}\]

pour un $c>0$. Nous proposons alors d’améliorer et d’expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

\[\kappa_F\geq \frac{2.16\times 10^{-6}}{N\log N},\]

pour tout $N$ assez grand.

The twin prime conjecture asserts that there are infinitely many primes p for which p+2 is also prime. This conjecture appears far out of reach of current mathematical techniques. However, in 2013 Zhang achieved a breakthrough, showing that there exists some positive integer h for which p and p+h are both prime infinitely often. Equidistribution estimates for primes in arithmetic progressions to smooth moduli were a key ingredient of his work. In this talk, I will sketch what role these estimates play in proofs of bounded gaps between primes. I will also show how a refinement of the q-van der Corput method can be used to improve on equidistribution estimates of the Polymath project for primes in APs to smooth moduli.

Dans cet exposé, nous présenterons la théorie de base des formes modulaires de poids demi-entiers
et quelques progrès récents sur les changements de signes des coefficients de Fourier d’une forme primitive de poids demi-entiers.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bin Chen et Yichao Zhang.

Le problème de Danzer (1961) pose la question de savoir s’il existe un ensemble de densité finie (i.e. « ne contenant pas beaucoup de points ») intersectant tout corps convexe de volume unité. Il a attiré à lui une somme considérable de travaux regroupant un large spectre des mathématiques modernes.

Nous nous intéresserons à une approche récente obtenue en relâchant la contrainte de volume. Ceci conduit au problème de la construction de forêts dites denses qui entretient des liens très étroits avec des problèmes de répartition modulo un et d’approximation diophantienne. Nous présenterons des constructions de telles forêts denses découlant de l’analyse harmonique et de l’estimation de sommes exponentielles.

Lagrange spectrum is related to the rational approximations of badly approximable numbers. The discrete part of the spectrum is denoted in terms of Christoffel words. Multiplicative analogy of Lagrange spectrum was recently investigated, which is defined by rational approximations of geometric sequences and more general linear recurrence. Dubickas essentially found the relation of the discrete part of the multiplicative Lagrange spectrum and the limit sup words on the shift spaces with alternate order. Liao and Steiner found that such words are also related to the negative beta expansions. On this talk, we shall investigate limit sup words on more general ordered shift spaces. Such words are related to generalized beta expansion.

This is a joint work with Wolfgang Steiner.

Nous étudions la taille des ensembles de points dans l’intervalle unitaire dont les orbites sous les systèmes dynamiques x2 et x3 tombent simultanément dans une famille donnée de boules rétrécissantes (cibles rétrécissantes). Une loi zéro-un pour la mesure de Lebesgue de tels ensembles est établie. La formule des dimensions de Hausdorff est également obtenue lorsque les rayons des boules diminuent de façon exponentielle. Nous soulignons qu’une partie de la formule dimensionnelle est établie en admettant la fameuse conjecture abc. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bing Li, Sanju Velani et Evgeniy Zorin.

A set of integers greater than 1 is primitive if no member in the set divides another. Erdős proved in the 1930s that the sum of 1/(a log a), ranging over a in A, is uniformly bounded over all choices of primitive sets A. In the 1980s he asked if this bound is attained for the set of prime numbers. In this talk we describe recent work which answers Erdős’ conjecture in the affirmative. We will also discuss applications to old questions of Erdős, Sárközy, and Szemerédi from the 1960s.