Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

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A new bound for A(A + A) for large sets

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 5 janvier 2023 14:30-15:30 Lieu : Oratrice ou orateur : Aliaksei Semchankau Résumé :

We prove the following structural result, resembling the Arithmetical Regularity Lemma of B. Green, and Graph Container Theorem in hypergraphs:
Lemma: Let $A_1,A_2,\ldots,A_k\subset\mathbb{F}_p$ be such that $|A_i| \gg p$ for all $i$. Assume that $(A_1 * A_2 * \ldots * A_k)(a) = o(p^{k-1})$ for some $a \in \mathbb{F}_p$.
Then there exist sets $W_1, \ldots, W_k$, which we call wrappers, and sets $Y_1, \ldots, Y_k$, such that:
$(W_1 * W_2 * \ldots * W_k)(b) = o(p^{k-1})$ for some $b \in \mathbb{F}_p$ , $A_i \setminus Y_i \subseteq W_i$ and $|Y_i| = o(p)$ for all $i$, $|W_i|_{\omega} = p^{o(1)}$ for all $i$, where $|\cdot|_{\omega}$ is a Wiener norm.
As a consequence of wrappers having a small Wiener norm, we obtain the following results.
If $A(A+A)$ does not cover all nonzero residues in $\mathbb{F}_p$, then $|A| \leqslant p/8 + o(p)$.
If $A$ is both sum-free and satisfies $A = A^*$, then $|A| \leqslant p/9 + o(p)$.
If $|A| \gg \frac{\log\log{p}}{\sqrt{\log{p}}}p$, then $|A + A^*| \geqslant (1 – o(1))\min(2\sqrt{|A|p},p)$.
Constants 1/8, 1/9, and 2 are optimal.
To obtain this result, we use Croot-Laba-Sisask Lemma and properties of Wiener norms.
This continues the work of A. Balog, K. Benjamin, P.-Y. Bienvenu, K. Broughan, F. Hennecart, B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, I. Shparlinski, and E. Yazici.


Non-canonical Bertrand numeration systems

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 15 décembre 2022 14:00-15:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Emilie Charlier (université de Liège) Résumé :

Among all positional numeration systems, the widely studied Bertrand numeration systems are defined by a simple criterion in terms of their numeration languages. In 1989, Bertrand-Mathis characterized them via representations in a real base $\beta$. However, the given condition turns out to be not necessary. In this talk, I will present a correction of Bertrand-Mathis’ result. The main difference arises when $\beta$ is a simple Parry number, in which case two associated Bertrand numeration systems are derived. Along the way, we define a non-canonical $\beta$-shift and study its properties analogously to those of the usual canonical one.


Suites automatiques et morphiques de grande complexité le long des sous-suites

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 8 décembre 2022 14:30-15:30 Lieu : Oratrice ou orateur : Pierre Popoli (IECL) Résumé :

Dans cet exposé, je présenterai les différents résultats de ma thèse. Ces travaux se situent à l’intersection entre les mathématiques et l’informatique théorique.

Une suite pseudo-aléatoire, bien qu’engendrée par un algorithme déterministe, possède un comportement proche de celui d’une suite aléatoire. Nous nous intéressons à différentes mesures de complexité d’une suite pseudo-aléatoire, qui décrivent le comportement d’une suite aléatoire. De l’autre côté du spectre, les suites automatiques sont des suites profondément non aléatoires. La suite de Thue—Morse et la suite de Rudin—Shapiro sont des célèbres exemples de suites automatiques. Cependant certaines sous-suites des suites automatiques, comme les sous-suites polynomiales, sont bien plus aléatoires.

Dans un premier temps, nous exposerons les résultats des deux premiers articles. Ces deux articles étudient la complexité d’ordre maximal d’une suite, qui quantifie l’imprédictibilité d’une suite par un registre à décalage à rétroaction (FSR). Le premier article répond à une question de Sun et Winterhof (2019) sur la complexité d’ordre maximal de la suite de Thue—Morse le long de tout polynôme unitaire. Nous étudions ensuite le système de numération de Zeckendorf et sa fonction somme des chiffres est une suite morphique non-automatique. La suite de Fibonacci—Thue—Morse est l’analogue à celle de Thue—Morse en base de Zeckendorf. Le deuxième article étudie la complexité d’ordre maximal de cette suite le long de tout polynôme et nous montrons un résultat relativement différent à précédemment.

Ensuite, nous exposerons les résultats du troisième article. Nous nous intéressons à la somme des chiffres binaires des carrés parfaits. Le premier résultat est dans la lignée des travaux de Hare, Laishram et Stoll sur les entiers impairs qui ont le même poids de Hamming que leur carré. Nous résolvons une partie des cas restants de leur étude. Le second résultat porte sur les carrés parfaits de poids 4 et 5 et démontre partiellement une conjecture de Benett, Bugeaud et Mignotte.

La dernière partie de cette thèse porte sur les corrélations d’ordre $k$ de la suite de Rudin—Shapiro. Nous suivons les travaux de Aloui,Mauduit et Mkaouar sur les corrélations de la suite de Thue—Morse le long des premiers et établissons un résultat partiel sur les corrélations de la suite de Rudin—Shapiro le long des premiers.


Une généralisation de la conjecture d'Artin parmi les presque premiers

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 1 décembre 2022 14:30-15:30 Lieu : Oratrice ou orateur : Paul Péringuey (IECL) Résumé :

La conjecture d’Artin stipule que l’ensemble des nombres premiers pour
lesquels un entier $a$ différent de $-1$ ou un carré parfait est racine
primitive admet une densité asymptotique parmi tous les premiers. En 1967
C.Hooley démontra cette conjecture sous l’hypothèse de Riemann généralisée.

La notion de racine primitive peut être étendue modulo un entier quelconque
en considérant alors les éléments du groupe multiplicatif engendrant des sous-
groupes de tailles maximales. Je parlerai de l’ensemble des presque premiers
pour lesquels un nombre $a$ est racine primitive généralisée, et montrerai que
l’on obtient, sous GRH, des résultats similaires à la conjecture d’Artin pour
les racines primitives.


Reconstituer la genèse des Éléments de mathématique de Bourbaki : une enquête au croisement de l’archivistique et de l’histoire des mathématiques.

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 24 novembre 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Christophe Eckes (Archives Poincaré, Université de Lorraine) Résumé :

Les Éléments de mathématique désignent une vaste entreprise éditoriale menée par le groupe Nicolas Bourbaki sur des thématiques aussi diverses que la théorie des ensembles, l’algèbre, la topologie, les espaces vectoriels topologiques, l’intégration ou encore les groupes et les algèbres de Lie. Les premiers fascicules des Éléments paraissent ponctuellement à la fin des années 1930 et durant la période de l’Occupation, avant de faire l’objet de publications régulières à partir de 1947. Dans le cadre de cet exposé, nous reviendrons tout d’abord sur les premières années d’existence du groupe afin de comprendre comment cette entreprise est née. Nous dresserons ensuite un état des lieux des archives disponibles permettant de documenter la genèse des Éléments de mathématique, ce qui nous conduira à mettre en exergue certaines pièces issues du fonds Jean Delsarte qui est conservé à la bibliothèque de l’Institut Élie Cartan. Les archives du groupe Bourbaki sont essentiellement composées de deux classes de documents : des Rédactions qui documentent les états intermédiaires dans la genèse d’un fascicule des Éléments de mathématique et les numéros du Journal de Bourbaki qui contribuent à comprendre comment ces Rédactions ont été discutées, critiquées et révisées. Nous reviendrons sur les précautions de méthode qui s’imposent pour étudier et relier ces deux grandes classes de documents. Enfin, nous présenterons succinctement l’état de nos recherches sur les premières rédactions Bourbaki dévolues aux groupes et aux algèbres de Lie.


Calcul explicite de la paramétrisation modulaire sur les corps de fonctions par les courbes modulaires de Drinfeld

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 17 novembre 2022 14:30-15:30 Lieu : Oratrice ou orateur : Valentin Petit Résumé :

La paramétrisation modulaire dans le cas des corps de fonctions est remarquablement différente du revêtement modulaire classique sur le corps des nombres complexes et fait appel à de nombreux outils théoriques. \\
La situation est la suivante: soit $q$ une puissance d’un nombre premier, et soit $\mathbb{F}_q$ un corps à $q$ éléments. Soit $E$ une courbe elliptique non-isotriviale définie sur $\mathbb{F}_q(T)$ par une équation de Weierstrass de la forme
$$E\colon y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6, \quad a_i \in \mathbb{F}_q[T],$$
de mauvaise réduction multiplicative en la place $\infty=1/T$.
Alors la paramétrisation modulaire est une application rationnelle $\phi \colon \overline{M}_\Gamma \rightarrow E$, où $\overline{M}_\Gamma$ est la courbe modulaire de Drinfeld. Pour la construction de cette application nous avons besoin d’étudier les arbres de Bruhat-Tits et les fonctions thêta holomorphes.On s’intéressera plus particulièrement au calcul de l’image des pointes de $\overline{M}_\Gamma$ par $\phi$. Les résultats seront illustrés à travers quelques exemples.


Points rationnels sur une intersection de formes diagonales

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 10 novembre 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Olivier Robert (Université JeanMonnet, Saint Étienne; Institut Camille Jordan) Résumé :

On considère des intersections de formes diagonales à coefficients entiers de degrés distincts. Nous établissons une formule asymptotique pour le nombre N(X)  des points rationnels de hauteur au plus X sur ces variétés. La preuve utilise la méthode de Hardy-Littlewood (dite Méthode du Cercle) et des avancées récentes sur le système de Vinogradov. Nous établissons également un résultat plus fin pour un choix particulier de degrés, en utilisant une technique due à Wooley et une estimation de sommes d’exponentielles issue d’une approche récente de la méthode de van der Corput. Les résultats présentés ici font l’objet d’un travail en commun avec S. Boyer.


Une extension probabiliste de la suite d’Oldenburger-Kolakoski

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 20 octobre 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Irène Marcovici (IECL) et Damien Jamet (LORIA) Résumé :

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique suite infinie sur l’alphabet {1,2} qui commence par un 1 et est un point fixe de l’application de codage par plage. Dans cet exposé, nous prendrons un peu de recul par rapport à cette suite bien connue et très étudiée, en introduisant de l’aléa dans le choix des lettres écrites. Cela nous permettra de montrer des résultats portant sur la convergence de la densité de 1 dans les suites ainsi construites. Dans le cas où les lettres sont choisies selon une suite i.i.d. de variables aléatoires ou selon une chaîne de Markov, la densité moyenne de 1 converge. De plus, dans le cas i.i.d., nous arrivons même à démontrer que la densité converge presque sûrement. Il s’agit d’un travail réalisé conjointement par Chloé Boisson, Damien Jamet, et Irène Marcovici.


Quelques problèmes ouverts sur des familles de suites binaires

Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 23 juin 2022 15:15-16:15 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Shalom Eliahou (Université du Littoral Côte d'Opale) Résumé :

Dans cet exposé, on considérera des familles finies de suites binaires (1 et -1) de même longueur finie n dont les coefficients de corrélation satisfont quelques conditions élémentaires. La question de l’existence de telles familles, et de leur construction, donne lieu à divers problèmes ouverts, avec des ramifications tant théoriques (combinatoire, algèbre, théorie des nombres, etc) qu’appliquées (codes correcteurs, spectrométrie, radars, etc). On se penchera plus spécifiquement sur trois ou quatre problèmes typiques dans ce cadre.


Sums of Kloosterman sums with multiplicative coefficients

Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 23 juin 2022 14:00-15:00 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Igor Shparlinski (University of New South Wales) Résumé :

We consider Kloosterman sums
$$
K_p(n) = \sum_{x=1}^{p-1} \exp(2 \pi i (nx + x^{-1})/p)
$$
modulo a prime $p$ and define their sums
$$
M_p(N) = \sum_{n \le N} \mu(n) \mathcal{K}_p(n) \qquad \mbox{and}\quad T_{\nu,p}(N) = \sum_{n \le N} \tau_\nu(n) \mathcal{K}_p(n)
$$
twisted by the Möbius function $\mu(n)$ and by the $\nu$-fold divisor function $\tau_\nu(n)$. Fouvry, Kowalski & Michel (2014) and Kowalski, Michel & Sawin (2018) improved the trivial bounds
$$
M_p(N) \ll N \qquad \mbox{and}\quad T_{\nu,p}(N) \ll N (\log N)^{\nu -1}.
$$
for $N \ge p^{3/4+\varepsilon}$ and $N \ge p^{2/3+\varepsilon}$, respectively (for any fixed $\varepsilon>0$). We will explain the ideas of the recent joint work with Maxim Korolev (2020) where both these thresholds are lowered down to $N \ge p^{1/2+\varepsilon}$. We will also discuss some open questions.


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