Nancy-Metz number theory seminar

Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que si $\mathcal{A}$ est un ensemble dénombrable de réels $>1$, tel que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{\log x}\sum _{\alpha \le x,\alpha \in \mathcal{A}}\frac{1}{\alpha }>0$, alors pour tout $\epsilon >0$, il existe une infinité de triplets $(\alpha ,\beta ,n)\in {\mathcal{A}}^2\times \mathbb{N}$ tels que $\alpha \ne \beta$ et $|n\alpha -\beta |<\epsilon .$ Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne.

Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.

En se laissant guider par l’exemple des ensembles de Sidon (ensembles de nombres dont les sommes de deux éléments sont uniques, très étudiés en combinatoire additive), je présenterai des résultats récents, en collaboration avec R. Riblet, où des techniques de théorie des ensembles permettent de construire des ensembles “grands” en certains sens (cardinalité, mesure ou dimension) tout en étant “épars” car évitant des configurations prescrites (pas de relation linéaire, ou ne contenant pas de parallélogramme, etc.). Des questions subtiles en lien avec l’axiome du choix seront évoquées.

Dans cet exposé, nous présenterons une méthode simple et efficace, qui a ses origines dans les travaux de Baker et Montgomery, et qui permet de produire des changements de signe de sommes de certaines fonctions multiplicatives réelles. Nous illustrons ensuite deux applications aux sommes de caractères de Dirichlet quadratiques ainsi qu’aux sommes de fonctions multiplicatives aléatoires de Rademacher. Ceci est basé sur un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.

In 1964, Hooley proved that for an irreducible polynomial $p$ in $\mathbb{Z}[x]$, the ratios $v/n$ for $v$ roots of the polynomial $p$ modulo $n$, are equidistributed modulo $1$. We prove joint equidistribution of these roots of polynomial congruences and polynomial values. As part of the proof, we generalize a result of Montgomery and Vaughan regarding exponential sums with multiplicative coefficients to the setting of Weyl sums.

La fonction Delta d’Erdős-Hooley mesure la concentration des diviseurs d’un entier dans un intervalle dyadique. Récemment, Ford Koukoulopoulos et Tao ont amélioré l’encadrement de l’ordre moyen de cette fonction dû à Hall et Tenenbaum. Nous expliquerons les idées nouvelles de ces auteurs et expliquerons comment dans un travail en collaboration avec Gérald Tenenbaum nous avons précisé leur encadrement.

Dans un travail en commun avec Régis de La Bretèche et Daniel Fiorilli, on considère certains moments pondérés correspondant à la distribution des substitutions de Frobenius dans les classes de conjugaison des groupes de Galois d’extensions normales des rationnels. La question s’inspire de résultats de Hooley et de progrès récents de La Bretèche–Fiorilli concernant les moments de la distribution des nombres premiers en progression arithmétique. Tout comme dans ces travaux antérieurs, nos résultats sont conditionnels à GRH et confirment que les moments considérés devraient être gaussiens. Si le temps le permet, nous mentionnerons une autre notion de moments pour laquelle certaines structures de groupes de Galois excluent un comportement gaussien.

Séminaire commun avec l’équipe Probabilités et Statistique.

Le lemme de Hensel pour les fonctions polynomiales $p$-adiques $f:{\mathbb{Z}}_p\to {\mathbb{Z}}_p$ permet de déduire l’existence d’une solution de $f(x)=0$ à partir de l’existence d’une solution approchée. E. Y. Axelsson et A. Khrennikov (2016) ont étendu le lemme de Hensel aux fonctions $1$- et $p^{\alpha }$-Lipschitz et ont posé la question concernant une généralisation de leur résultat aux fonctions continues $p$-adiques générales. L’objet de cet exposé est de présenter cette généralisation, obtenue dans un travail récent en collaboration avec H. Kaneko.

Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d’intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
$$\overleftarrow{k}=\sum _{j=0}^{n-1}{\epsilon }_j{2}^{n-1-j}\text{ où }k=\sum _{j=0}^{n-1}{\epsilon }_j{2}^j$$
avec ${\epsilon }_j\in \{0,1\}$, $j\in \{0,\dots ,n-1\}$, ${\epsilon }_{n-1}=1$. Une question naturelle est d’estimer le nombre de nombres premiers $p\in [2^{n-1},2^n[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l’ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi d’obtenir une bonne minoration du nombre de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers (comptés avec multiplicité). Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres entiers $k\in [2^{n-1},2^n[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

Il s’agit d’un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.

Soient $N\ge 1$ et ${\chi }_1,\dots ,{\chi }_N$ des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts, de conducteur $q_1$, …, $q_N$ respectivement. Posons

$$F(s):=\sum _{j=1}^N{c}_j{\epsilon }_j{q}_j^{s/2}L(s,{\chi }_j),$$

où $({\epsilon }_j)$ sont des complexes de module 1 tels que $F$ satisfasse une équation fonctionnelle et $c_j\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Nous distinguons les zéros de $F$ en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale $V$. Nous notons $N(T)$ le nombre de zéros de $F$ dans le rectangle $\{z\in V:\mathrm{\Im }(z)\in [0,T]\}$ et $N_0(T)$ le nombre de ces zéros étant sur la droite critique.

A la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d’un raisonnement prouvant qu’une proportion positive de zéros non-triviaux de $F$ sont sur la droite critique, en établissant que

$${\kappa }_F:=\underset{T}{lim inf}\frac{N_0(2T)-N_0(T)}{N(2T)-N(T)}\ge \frac{c}{N^2}$$

pour un $c>0$. Nous proposons alors d’améliorer et d’expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

$${\kappa }_F\ge \frac{2.16\times {10}^{-6}}{N\log N},$$

pour tout $N$ assez grand.

The twin prime conjecture asserts that there are infinitely many primes p for which p+2 is also prime. This conjecture appears far out of reach of current mathematical techniques. However, in 2013 Zhang achieved a breakthrough, showing that there exists some positive integer h for which p and p+h are both prime infinitely often. Equidistribution estimates for primes in arithmetic progressions to smooth moduli were a key ingredient of his work. In this talk, I will sketch what role these estimates play in proofs of bounded gaps between primes. I will also show how a refinement of the q-van der Corput method can be used to improve on equidistribution estimates of the Polymath project for primes in APs to smooth moduli.