Nancy-Metz number theory seminar

One of the central topics in number theory is the study of $L$-functions and the distribution of their zeros. For example, the celebrated Prime Number Theorem is equivalent to the fact that the Riemann zeta function $\zeta(s)$ does not vanish on the line $\text{Re}(s)=1$. In this talk, we will focus on quadratic Dirichlet $L$-functions: in particular, the real zeros of the derivative of quadratic Dirichlet $L$-functions $L^\prime (s, \chi_d)$, where $d$ ranges over fundamental discriminants. Baker and Montgomery conjectured that there are $\asymp \log \log |d|$ real zeros of $L^\prime(s, \chi_d)$ in the interval $[1/2, 1]$ for almost all fundamental discriminants $d$. We will highlight some recent exciting progress that comes close to proving this conjecture and then outline the proof, which is based on ideas coming from analytic and probabilistic number theory. This is based on recent joint work with Youness Lamzouri.

In this talk, we will discuss the Gaussian behaviour of small quadratic non-residues for almost all primes in short intervals. We will begin with some background on quadratic non-residues and then briefly outline the proof. The proof uses the method of moments in conjunction with sieve methods and algebraic inputs from counting solutions of polynomial equations. This is joint work with Debmalya Basak and Alexandru Zaharescu.

À chaque polynôme unitaire sans facteur carré $D$ d’un anneau de polynômes $\mathbb{F}_q[t]$ nous pouvons associer un caractère réel quadratique $\chi_D$ et puis une fonction L de Dirichlet $L(s,\chi_D)$. Inspirés par l’article de Y. Lamzouri sur les constantes d’Euler-Kronecker d’extensions quadratiques de corps de nombres, nous étudions la famille des valeurs $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$ lorsque $D$ parcourt l’ensemble des polynômes unitaires sans facteur carré de $\mathbb{F}_q[t]$. Tout d’abord, nous calculons uniformément leurs moments entiers sur un intervalle particulier. Puis, en utilisant un modèle aléatoire, nous montrons que les valeurs $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$ possèdent une distribution limite lorsque le degré de $D$ tend vers l’infini, où la fonction de distribution admet une fonction de densité lisse. Nous prouvons également un théorème de discrépance pour la convergence des fréquences des valeurs $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$ vers cette fonction de distribution. Notre théorème de discrépance fournit de l’information non négligeable à propos des petites valeurs de $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$. Nous déduisons aussi des résultats analogues pour les constantes d’Euler-Kronecker d’extensions quadratiques. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Amir Akbary (University of Lethbridge).

(Joint Work with Michele Serra.)

In his paper ” Automorphisms of fields of formal power series” (Bull. Am. Math. Soc. 50, 1944) Otto Schilling described the automorphism group of k((t)), the field of Laurent series with coefficients in a ground field k and exponents in the group of integers. In our paper “The automorphism group of a valued field of generalised formal power series” (J. Algebra 605, 2022) we generalise his results to the case when the exponents lie in an arbitrary abelian group. In particular, our results apply to a variety of such fields, e.g. to the field of Puiseux series, of multivariate rational functions, of multivariate Laurent series, or to the field of surreal numbers.
The talk will be self contained talk and geared towards a general audience.

Je proposerai une excursion aux “Fondements mathématiques” (dans le sens de l’intitulé d’une unité de notre L1 que j’étais amené à enseigner à Nancy pendant ces dernières années) : depuis le 19e siècle, la théorie des fondements des nombres et de l’analyse réels, et celle de la théorie des ensembles, se sont nourries mutuellement (Dedekind, Cantor,…). Au 20e siècle, cette interaction a pris un nouveau tournant : du coté théorie des ensembles, l’univers de von Neumann permet de sortir indemne de la “crise des fondements” ; du coté de la théorie des nombres, John Horton Conway proposa, dans son livre “On Numbers and Games” (connu sous le sigle ONAG), une nouvelle approche qui permet de voir les nombres réels dans un cadre beaucoup plus vaste de “tous les nombres” (“All Numbers Great and Small”). Le terme “nombres surréels”, crée par Donald Knuth dans son livre Surreal numbers – how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (qui est paru même avant ONAG), est un peu malheureux car il suggère une analogie avec le courant d’art de même nom, ce qui est trompeur. Dans cet exposé, je tenterai de vous expliquer que ces nombres sont aussi réels que tout objet mathématique vivant dans l’univers mathématique, et pour lequel l’univers de von Neumann fournit un modèle. Il s’agit d’un travail en cours, loin d’être terminé.

Dans son article `On a theorem of Jordan’, Serre considère la famille de polynômes $f_n(X) = X^n-X-1$ et la fonction qui compte le nombre de racines de $f_n$ dans le corps fini $F_p$ en tant que fonction de $p$. Il montre explicitement la ‘modularité’ de cette fonction pour $n=3,4$. Dans cet exposé, je parlerai d’un article en commun avec Alfio Fabio La Rosa et Chandrashekhar Khare dans lequel nous traitons le cas $n=5$ de plusieurs manières.

Dans le présent exposé, nous commençons par une introduction aux fonctions
génératrices et aux différentes méthodes permettant d’obtenir des formules
asymptotiques pour leurs coefficients. Après une excursion dans les nombres de
Fibonacci et les nombres catalans, nous introduisons les partitions d’entiers en
entiers. Autour de ce problème introductif, nous présentons la méthode du col et
ses applications. Ensuite, nous nous concentrons aux variants et des résultats récents. À la fin de l’exposé, nous présentons les travaux en cours
et des problèmes ouverts.

Dans cet exposé, nous présenterons une méthode simple et efficace, qui a ses origines dans les travaux de Baker et Montgomery, et qui permet de produire des changements de signe de sommes de certaines fonctions multiplicatives réelles. Nous illustrons ensuite deux applications aux sommes de caractères de Dirichlet quadratiques ainsi qu’aux sommes de fonctions multiplicatives aléatoires de Rademacher. Ceci est basé sur un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.

In 1964, Hooley proved that for an irreducible polynomial $p$ in $\mathbb{Z}[x]$, the ratios $v/n$ for $v$ roots of the polynomial $p$ modulo $n$, are equidistributed modulo $1$. We prove joint equidistribution of these roots of polynomial congruences and polynomial values. As part of the proof, we generalize a result of Montgomery and Vaughan regarding exponential sums with multiplicative coefficients to the setting of Weyl sums.