PDE and applications seminar | Nancy

Dans cet exposé nous présenterons des résultats d’existence, d’unicité et de régularité de solution pour certains problèmes elliptiques du second ordre complètement non linéaires. Les opérateurs sont du modèle du p-Laplacien mais ne peuvent pas se mettre sous forme divergente. Les solutions le seront donc dans le sens des solutions de viscosité.  Dans la première partie, notre démarche sera d’abord de prouver l’existence de sous- et sur- solutions de viscosité. Puis, nous montrerons l’existence de solutions de viscosité à l’aide de la méthode de Perron. Nous prouverons l’unicité de la solution et discuterons sa régularité. Dans la deuxième partie, nous considérerons un opérateur symétriquement radiale (un des opérateurs  de Pucci) et prouverons l’existence et l’unicité de solution radiale dans un anneau. Enfin nous donnerons certains résultats récents et perspectives de recherche sur les propriétés de ces équations.

Dans ce travail, nous étudions un problème de contrôle optimal impliquant un modèle simplifié pour la protection d’un champ de culture. Plus précisément, nous considérons une protection sur un champ de culture et cherchons à placer des zones d’intervention, représentées par un contrôle, afin de maximiser la protection sur le champ pendant une période donnée. En utilisant une méthode de relaxation, nous prouvons qu’il existe un contrôle qui maximise la protection et, de plus, ce contrôle doit être de type bang-bang. Par ailleurs, avec des hypothèses supplémentaires sur la géométrie du champ de culture, certains résultats sur la forme de l’intervention optimale sont démontrés en utilisant des résultats de comparaison via les symétrisations de Schwarz et de Steiner. Enfin, des simulations numériques sont réalisées pour illustrer ces résultats.

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

La théorie des systèmes de réaction-diffusion de type Lotka-Volterra s’enrichit singulièrement lorsque l’on insère des termes de diffusion croisée, avec en particulier l’apparition de patterns. On discutera l’intérêt de l’apparition de ces termes, les difficultés mathématiques qu’ils engendrent, et les conclusions que l’on peut tirer de leur utilisation en terme de modélisation.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons au phénomène de « scattering » pour certaines EDPs dispersives non-linéaires : il s’agira de “comparer” la solution non-linéaire (lorsqu’elle existe globalement) à  des solutions du problèmes linéaire lorsque le temps devient grand. Nous rappellerons d’abord les résultats connus sur R^d, à  savoir que sous certaines conditions sur la non-linéarité, on peut effectivement comparer, en temps longs, la solution non-linéaire à  des solutions linéaires. Ce résultat est dà» à  un bon contrôle de la solution non-linéaire. Nous verrons aussi que des résultats similaires dans le cadre d’une variété riemannienne compacte M^k n’ont pas lieu d’être. La question à  laquelle on tâchera de répondre (au moins partiellement) est donc la suivante : si on se place sur un espace produit de type R^d times M^k, quel est le comportement dominant ? Peut-on espérer avoir du « scattering » en faisant vivre seulement une partie des variables spatiales dans R^d ? Autrement dit : un contrôle « partiel » de la solution peut-il suffire à  obtenir du « scattering » ? Nous verrons quelles sont les conditions naturelles sur la non-linéarité pour espérer des résultats de type « scattering » dans un espace produit et donnerons des idées de preuve pour la partie “technique” du résultat. Nous commencerons par les équations de Schrödinger qui ont été les premières à  être étudiées dans ce cadre puis nous tâcherons d’exhiber le même type de comportement pour les équations de Klein-Gordon.

On considère un système d’interaction fluide-structure entre un fluide incompressible dans un domaine tridimensionnel et une plaque élastique localisée sur la partie supérieure du bord. Le fluide est gouverné par l’équation de Navier-Stokes et le mouvement de la structure est régit par l’équation des plaques avec damping. On munit notre système des conditions de Navier sur le bord. Notre principal objectif est d’étudier l’existence et l’unicité de solutions fortes associées à  ce système.

Résumé

Résumé

La modélisation du piégeage capillaire (un fluide reste confiné dans une région du sous-sol) conduit à  une équation de diffusion non-linéaire dégénérée dans laquelle le coefficient de diffusion est discontinu à  travers une interface. Le problème peut-être résolu par une méthode de décomposition de domaines globale en temps, basée sur l’algorithme de relaxation d’onde de Schwarz, avec des conditions de transmission non-linéaires de type Robin à  travers l’interface. Dans chaque sous-domaine, un problème en est résolu sur tout l’intervalle de temps à  chaque itération, avant l’utilisation des conditions de transmission. L’arrêt des itérations utilise un critère construit à  partir d’estimateurs d’erreurs a posteriori, distinguant les erreurs de discrétisation en espace, en temps et l’erreur due à  la décomposition de domaines. Ces estimateurs reposent sur la reconstruction de champs de pression et de flux conformes. Les itérations de décomposition de domaines peuvent ainsi être arrêtées dès que l’erreur de DD est inférieure aux erreurs de discrétisation.

Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème de stabilisation par retour de sortie dynamique (et lisse) pour des systèmes de contrôle non uniformément observables. Dans un premier temps, nous analysons ce problème à  travers un exemple académique pour lequel le point d’équilibre auquel nous voulons stabiliser le système correspond à  une valeur de contrôle rendant le système inobservable. Dans un deuxième temps nous mettrons en évidence certaines difficultés liées au problème de l’observation des systèmes non uniformément observables.

La résistance aux traitements est une raison majeure d’échec des chimiothérapies contre le cancer. Afin d’étudier les effets de différents protocoles de traitement, l’équipe de M.Carré [Centre de Recherche en Oncologie et Oncopharmacologie, Aix-Marseille Université] a réalisé des séries d’expériences in vitro sur des cultures de cellules cancéreuses sensibles ou résistantes à  un certain médicament. Ces expériences ont mis en lumière l’intérêt des protocoles métronomiques, c’est à  dire de plus faibles doses de médicament données plus fréquemment, par rapport aux protocoles MTD (maximal tolerated dose) classiques. Pour comprendre et améliorer ces résultats, nous proposons avec G.Chapuisat [Institut de Mathématiques de Marseille, Aix-Marseille Université] une modélisation de ces expériences, et l’optimisation du traitement par différents outils mathématiques. Tout d’abord, une stratégie adaptative reposant sur l’analyse du modèle est définie. Ensuite, la théorie du contrôle optimal est utilisée pour proposer un nouveau protocole de traitement, qui a été testé sur les cultures de cellules. Enfin, avec H.Zidani, l’approche de la programmation dynamique est présentée pour répondre de manière plus pragmatique aux attentes médicales.

We present some extensions of Talenti’s comparison theorem for solutions of Poisson’s equation on domains in Euclidean space under Dirichlet boundary conditions. We show how these results can be particularly useful in proving isoperimetric inequalities for eigenvalues.

A certaines équations de Schrödinger non-linéaires (NLS), on peut associer une mesure de Gibbs invariante basée sur l’énergie correspondante. C’est l’ingrédient de base de l’approche euclidienne en théorie constructive des champs quantiques, ainsi que l’asymptote naturelle pour l’équation de la chaleur non-linéaire stochastique. Nous discuterons d’une certaine limite de champ moyen connectant ces mesures et les états d’équilibre du modèle quantique à  N corps sous-jacent. Plus spécifiquement, nous traiterons du cas le plus simple o๠une renormalisation est nécessaire pour la définition de la mesure de Gibbs: deux dimensions d’espace et interactions régulières. travail commun avec Mathieu Lewin (Paris-Dauphine) et Phan Thà nh Nam (LMU, Munich)